2024-2025学年河南省开封市五校高二（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线l：x﹣3y+1＝0和直线m：3x+y﹣1＝0的位置关系为（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．已知双曲线的焦距为4，则C的渐近线方程为（ ） A． B．y＝±x C． D． 3．已知向量，若，则m＝（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点2+n2＝（ ） A．13 B．21 C．29 D．31 5．已知圆及圆，则与圆C1，C2都相切的直线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，C的离心率为e，过点Fi的直线li与C交于点Ai，Bi（Bi在x轴下方）（i＝1，2），若l1∥l2，则△A1B1F2的周长与|A1F2|+|F1F2|+|B2F2|的比值为（ ） A． B． C． D． 7．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm（ ） A． B．18cm C． D． 8．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，PF2的延长线交椭圆C于点Q，且|PF1|＝|PQ|，△PF1F2的面积为b2，记△PF1F2与△QF1F2的面积分别为S1，S2，则＝（ ） A． B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．已知曲线C：x2+（1﹣m2）y2＝1（其中m为常数），则曲线C可能为（ ） A．平行于x轴的两条直线 B．单位圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的椭圆 （多选）10．已知双曲线与直线y＝3x无公共点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，O为坐标原点，若sin∠MOF＞sin∠MFO（ ） A． B．2 C．3 D．4 （多选）11．如图，曲线C可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线C上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值a（a＞0），则（ ） A．曲线C关于直线y＝x对称 B．曲线C经过点（﹣1，﹣1），其方程为 C．曲线C围成的图形面积小于 D．存在a∈（2，6），使得曲线C上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，． 12．直线2x+4y﹣3＝0与x+2y﹣1＝0间的距离为 ． 13．已知椭圆的离心率为，若椭圆E上的点到直线x+y+5＝0的最短距离不小于 ． 14．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是底面ABCD、侧面BCC1B1的中心，点P，Q分别是棱A1D1，A1B1所在直线上的动点，且EP⊥FQ，当PQ取得最小值时 ． 四、解答题：本题共5小题，．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据所给条件求曲线的标准方程： （1）已知椭圆的右焦点为（2，0），且过点（2，3）； （2）已知双曲线E的一条渐近线方程为2x+3y＝0，且过点． 16．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9． （1）直线l1过点A（﹣2，0），且与圆C相切，求直线l1的方程； （2）设直线l2：3x+4y﹣2＝0与圆C相交于E，F两点，点P为圆C上的一动点 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，，点Q为棱PC上一点． （1）证明：PA⊥CD； （2）当二面角P﹣BD﹣Q的余弦值为时，求． 18．已知双曲线的渐近线上一点与右焦点F（2，0）的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）O为坐标原点，直线x＝ty+2与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，B与D在x轴的下方． （ⅰ）求实数t的取值范围． （ⅱ）设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+S2的最大值． 19．由椭 ... ...
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