教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 春季 课题 函数与不等式 教科书 书 名：普通高中教科书 数学（B版） 选择性必修 第三册 -出卷网-：人民教育-出卷网- 教学目标 1.通过本节课的学习，使学生学会用导数研究函数中的不等关系的一般方法； 2.提高学生从提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力； 3.培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 教学重点：用导数证明函数中的不等关系 教学难点：不等式证明的过程中函数的合理构造. 教学重难点 学生学习了导数的概念、求法及几何意义，掌握了利用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值的基本方法.在此基础上，可以将不等式恒成立的证明及已知不等式恒成立，求参变数的取值范围的问题，转化为函数的最值问题处理.如何构造函数，求函数的哪个最值。 教学过程 一.问题的提出 在必修三《三角函数》一章中，我们利用单位圆中的三角函数线及几何图形的面积关系，曾经得到一个不等式：若，则，这个不等式反映了锐角的弧度数与其正弦、正切的关系.我们将换成实数x，就得到：若，则.这个不等式反映了当自变量x在区间上取值时，这三个函数的函数值之间的不等关系，即三个函数间的不等关系，在本课中称作“函数型不等式”.这节课我们利用导数的知识，探究这个结论的几何意义及证明方法，并在此基础上学习“函数型不等式”的研究方法. 二.“函数型不等式”的几何意义及证明方法 1.不等式的几何意义及证明方法 利用几何画板，在同一坐标系中画出函数y=x及的图像，由图形猜想：（1）y=x是曲线y=tanx在原点处的切线；（2）除了原点，的图像上的所有点都在直线y=x的上方，用不等式表示为:当时， 问题1：猜想（1）容易证明，如何证明猜想（2）？ 解：（1）：， 又， 故曲线y=tanx在原点处的切线方程为即猜想（1）正确. （2）构造函数， ,在上单调递减，故，因此，当时，从而不等式成立. 一般结论： （1）若在区间M上，除了公共点外，函数的图象上的所有点都在函数的图象的上方（下方），则可得到“函数型不等式”： ①当两个图象无公共点时：（或）在区间M上恒成立； ②当两个图象有公共点时：（或）在区间M上恒成立； （2）要证明“函数型不等式”（或）在区间M上恒成立，可以构造函数，证明（或）即可. “函数型不等式”f(x)>g(x)（或f(x)
