中小学教育资源及组卷应用平台 计数原理 专题一 利用计数原理解决因数个数和涂色问题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册 一、单选题 1．求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ） A．12 B．15 C．16 D．18 2．一个正整数n称为具有“因数积性质”：若n的所有正因数的乘积等于，则不超过400的正整数中具有“因数积性质”的数的个数为（ ） A．55 B．50 C．51 D．前三个答案都不对 3．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种 4．如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ） A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种 二、多选题 5．用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A． B．当时，若同色，共有48种涂法 C．当时，若不同色，共有48种涂法 D．当时，总的涂色方法有420种 三、填空题 7．1800的不同的正奇数因数有 个． 8．5320的因数有 个，从小到大排列后，第24个因数为 ． 9．完美数（Perfectnumber）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n的所有真因数之和，如，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为 ； . 10．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ． 11．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C D C AD ABD 1．A 【分析】因为，结合题意分析求解即可. 【详解】因为， 由题意可知：500的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可， 所以500的正整数因数的个数为. 故选：A. 2．C 【分析】就n形如和（为质数）分类计算后可得它们的个数. 【详解】显然符合题意．当时，根据题意，n有6个正因数． 情形一 n形如，其中a，b都是质数．先写出质数表： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 依据b的取值分类： b 2 3 5 7 11 13 17 a 个数 24 13 5 3 2 1 0 因此这种类型的具有“因数积性质”的数有． 情形二 n形如，其中a是质数．这种类型的“因数积性质”共有2个． 综上所述，所求的具有“因数积性质”的数共有51个． 故选：C. 3．D 【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择. 综上所述，不同的涂色方案有种. 故选：D. 4．C 【分析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用3种颜色时，和涂一种颜色，利用分类加法、分步乘法计数原理即可求解. 【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色， 当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法， 所以共有种方法； 当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法， 有5种涂 ... ...
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