3 圆周运动中的受力和能量问题 类型1 有摩擦作用 如图所示，一轻支架由水平段ON和竖直段OO′组成．轻弹簧一端固定于O点，另一端与套在水平杆ON上的A球相连，一根长为10 cm的轻绳连接A、B两球．A球质量mA＝1 kg，B球质量mB＝4 kg，A球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.36，弹簧原长20 cm，劲度系数k＝450 N/m.初始时使A球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态．现使系统绕OO′轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与OO′在同一竖直平面内，当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求： (1) 初始时弹簧的长度． (2) 细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度． (3) 整个过程中驱动力对系统所做的总功． 答案：(1) 0.16 m (2) 5 rad/s (3) 7.46 J 【解析】(1) 初始时弹簧处于压缩状态，A球恰好处于静止状态，设初始时弹簧的压缩量为Δl，弹簧原长为l0 则kΔl＝μ(mA＋mB)g 代入数据解得Δl＝0.04 m 所以初始时弹簧的长度l＝l0－Δl＝0.16 m (2) 当系统以某角速度稳定转动，弹簧的弹力大小与初始时相同时，对B球，有mBgtan 37°＝mBω2rB rB＝l0＋Δl＋Lsin 37° 代入数据解得ω＝5 rad/s (3) 根据能量守恒，整个过程中驱动力对系统所做的总功等于两球的动能增加量、B球的重力势能增加量以及A球与水平横杆间摩擦产生的内能之和 W＝mAv＋mBv＋mBg(L－Lcos 37°)＋μ(mA＋mB)g·2Δl vA＝ωrA rA＝l0＋Δl vB＝ωrB 代入数据解得 W＝7.46 J. 类型2 无摩擦作用 (2021·江苏卷)如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°.现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到0，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1) 装置静止时，弹簧弹力的大小F. (2) 环A的质量M. (3) 上述过程中装置对A、B所做的总功W. 答案：(1) mg (2) m (3) mgL 【解析】(1) 设AB、OB的张力分别为F1、F2，A受力平衡 F＝F1sin 37° B受力平衡 F1cos 37°＋F2cos 37°＝mg F1sin 37°＝F2sin 37° 解得F＝mg (2) 设装置转动的角速度为ω 对A有F＝Mω2·L 对B有mgtan 53°＝mω2·L 解得M＝m (3) B上升的高度h＝L，A、B的动能分别为 EkA＝M2 EkB＝m2 根据能量守恒定律可知 W＝(EkA－0)＋(EkB－0)＋mgh 解得W＝mgL. 求解圆周运动中受力和能量问题的方法 1. 选择研究对象，根据运动状态求某一个力或合力． 2. 根据圆周运动的知识求向心力、向心加速度等． 3. 根据功能关系或动能定理求解该过程中外力对装置所做的功． (2025·如皋第二次适应性考试)如图所示，足够长的水平轻杆中点O固定竖直轻质转轴，小球A和B分别套在水平杆中点两侧，原长L0＝0.8 m的轻质弹簧一端固定在O点，下端与套在转轴上的小球C连接，C分别与A、B用长L＝1 m的轻质细线连接．装置静止时，两根绳恰好拉直且无张力．在外力作用下，装置绕转轴缓慢增大转速，C缓慢上升．小球A、B、C的质量均为m＝1 kg，均可看成质点，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.求： (1) 弹簧的劲度系数k. (2) 当绳AC与水平方向成37°时，装置转动的角速度ω. (3) 从静止开始到绳AC与水平方向成37°过程中，外力对装置做的功W. 答案：(1) 50 N/m (2) rad/s (3) J 【解析】(1) 小球C受力平衡k(L－L0)＝mg 解得k＝50 N/m (2) 设AC绳与水平 ... ...
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