小专题8 全等三角形的基本模型 类型1 平移模型 模型展示 模型特点 沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE=CF) 解题思路 证明三角形全等的关键：(1)加(减)共线部分CE,得BC=EF;(2)利用平行线的性质得对应角相等 1.如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.试说明:∠E=∠F. 类型2 对称模型 模型展示 有公共边 有公共顶点 模型特点 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合 解题思路 证明三角形全等的关键：(1)找公共角，垂直、对顶角等条件得对应角相等；(2)找公共边，中点、相等边、线段的和差等条件得对应边相等 2.如图,已知CD=BD,E,F分别是CD,BD的中点,∠CAF=∠BAE,∠B=∠C.试说明;AE=AF. 类型3旋转模型 模型展示 模型特点 绕公共的顶点旋转可得两个三角形重合 解题思路 加(减)共顶点的共角部分得到一组对应角相等 3. 如图,∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.试说明:AD=AE. 类型4三垂直模型 模型展示 模型特点 已知A,B,C三点共线,且∠1=∠2= 4.如图,AE⊥AB 且 AE =AB,BC⊥CD 且BC=CD，按照图中所标注的数据，能计算出图中实线所围成图形的面积S= ( ) A.50 B.62 C.65 D.68 5.如图,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,点 D 在BC 的延长线上,且BD=AB.过点B作BE⊥AC,与 BD的垂线DE 交于点 E. (1)试说明:△ABC≌△BDE. (2)请找出线段AB，DE，CD之间的数量关系，并说明理由. 类型5 一线三等角模型 模型展示 (1)点 P 在线段AB 上 (2)点 P 在线段AB 的延长线上 模型特点 已知A,P,B三点共线,且∠1=∠2=∠3 解题思路 利用三角形的内角和寻找角相等，再加上任一组对边相等，易证三角形全等 6.(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面的基本图形.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥l,CE⊥l,垂足分别为 D,E.试说明:DE=BD+CE. (2)组员小刘想,如果∠BDA,∠AEC,∠BAC这三个角不是直角，那么结论还会成立吗 如图 2，将(1)中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD+CE 是否成立 请说明理由. 小专题8 全等三角形的基本模型 1.解:∵EA∥FB,∴∠A=∠FBD.∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.在△EAC和△FBD中, △EAC≌△FBD(SAS).∴∠E=∠F. 2.解:∵CD=BD,E,F 分别是CD,BD 的中点,∴CE=BF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF-∠EAF=∠BAE-∠EAF,即∠CAE = ∠BAF. 在 △ACE 和 △ABF 中， 解:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC, 即 ∠BAD = ∠CAE. 在 △ABD 和 △ACE 中, 4. A 5.解:(1)∵BE⊥AC,∴∠A+∠ABE=90°.∵∠ABC=90°,∴∠DBE+∠ABE=90°.∴∠A=∠DBE. 在△ABC 和△BDE中. ∴△ABC≌△BDE(ASA). (2)AB=CD+DE.理由:∵△ABC≌△BDE,∴BC=DE.∵AB=BD,BD=CD+BC,∴AB=CD+DE. 6.解:(1)∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDA=∠AEC=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∴ ∠CAE = ∠ABD.在 △ADB和 △CEA中， ∴BD=AE，AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)DE=BD+CE成立.理由:∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-α.∴∠DBA=∠EAC.在△ADB 和△CEA中, AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE. ... ...
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