中小学教育资源及组卷应用平台 2025-2026学年高中数学苏教版必修二单元测试 第13章 立体几何初步 一、选择题 1．若某平面图形用斜二测画法得到的直观图是边长为4的正三角形,则原图形的面积为( ) A. B. C. D. 2．如图,是利用斜二测画法画出的的直观图,其中轴,轴,,则的周长为( ) A. B. C. D. 3．下列几何体为多面体的是( ) A.长方体 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 4．已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为( ) A. B. C. D. 5．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示,已知,则边上的中线的长度为( ) A. B. C. D.5 6．直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形,且,在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小,则这个最小值是( ) A.2 B. C. D. 7．在空间中,若直线平面,直线平面,则l与m( ) A.相交 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行,也可能是异面直线 8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( ) A. B. C. D. 10．下列图形中是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是( ) A. B. C. D. 11．沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,两个圆锥的底面直径和高均为,当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度h的.假设该沙漏每秒钟漏下的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是( ) A.沙漏中的细沙体积为 B.沙漏的体积是 C.细沙全部漏入下部后,此锥形沙堆的高度为 D.该沙漏的一个沙时大约是900秒 三、填空题 12．在梯形ABCD中,,,．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为_____． 13．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍,高缩小为原来的,则其体积是原来的_____倍. 14．已知圆台的体积为,上底面半径为1,母线与下底面所成角的余弦值为,则该圆台的下底面半径为_____. 15．如图,在正四棱柱中,,则该正四棱柱的体积为_____. 四、解答题 16．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，. （1）证明：平面. （2）若，求二面角的正弦值. 17．如图,在四棱锥中,底面为菱形,,,平面,点G,H分别在棱,上,且. （1）求证:; （2）若,与平面所成的角为60°,点A关于平面的对称点为M,求点M到平面的距离. 18．如图所示的四棱锥中,已知底面ABCD是一个平行四边形,,且,.求证:面ABCD. 19．如图,在三棱柱中,平面,,,分别为,的中点. （1）证明:侧面为矩形; （2）若,求直线与平面夹角的正弦值. 20．如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,E是PD上的点. (1)若E、F分别是PD和BC中点,求证：平面PAB； (2)若平面AEC,求证：E是PD中点. 参考答案 1．答案：D 解析：如图,直观图是边长为4的正三角形, 则其高, 过作轴,交于E,则, 则在原中,,边上的高为, 故的面积为. 2．答案：A 解析：因为其中轴,轴, 所以,由余弦定理得, , 即,解得, 由斜二测画法知原为直角三角形,,, , 所以周长为． 故选：A． 3．答案：A 解析：由多面体的概念可知,长方体为多面体,圆锥、圆柱、圆台都不是多面体. 故选：A. 4．答案：A 解析：正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点O， 以点O为原点，，为y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则球心，的坐标为： 因为底面边长为6，所以底面正三角形外接圆半径； 故 ，，， 所以 ，， 设平面的法向量为，则由，即， 令，则，则是平面的一个法向量. 又，因此球心O到平面的距离 . 5．答案：C 解析：由斜二测画法还原得原图, 在中,,,, 所 ... ...
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