福建省闽侯县第一中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 2 2 2 2 1.曲线 + = 1与曲线 + = 1( < 4)的( ) 9 4 9 4 A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 2.已知数列{ }的通项公式为 = 2 + ,且2和7是{ }中的两项,则 =( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 3 3.已知中心在原点的双曲线 的一条渐近线的斜率为2,且一个焦点的坐标为(0, √ 10),则 的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 A. = 1 B. 2 = 1 C. = 1 D. = 1 2 8 4 4 6 8 2 4.设 为“ + +3 = +1 + +2”, 为“{ }是等差数列”,则 是 的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5.若直线 : 4 = 0与圆 : 2 + 2 = 4相离,则点 ( , )( ) A. 在圆 外 B. 在圆 内 C. 在圆 上 D. 位置不确定 2 2 6.设 为椭圆 + = 1上一动点, 1, 2分别为椭圆的左、右焦点, ( 1,0),则| 2| + | |的最小值为( ) 25 9 A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 3 2 + 7.设等差数列{ }和{ }的前 项和分别为 和 ,若 = ,则 1 17 =( ) +2 2+ 18 7 9 25 A. B. C. D. 2 3 4 12 8.已知 为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点,△ 的三个顶点都在 上,且 为△ 的重心.若| | + | |的最大值为10,则 =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.记等差数列{ }的前 项和为 , 9 = 27, 2 + 10 = 10,则( ) A. 1 = 5 B. 6 = 2 C. ≥ 3 D. 7 = 7 10.已知直线 的方程为 = 0, (1, 1), (3,3),则下列结论正确的是( ) A. 点 不可能在直线 上 B. 直线 恒过点(1,0) C. 若点 , 到直线 的距离相等,则 = 2 D. 直线 上恒存在点 ,满足 = 0 第 1 页,共 9 页 11.如图,在三棱锥 中, ⊥ , ⊥平面 , = = = 2, , , , 分别为 , , , 的中点, 是 的中点, 是线段 上 的动点,则( ) A. 存在 > 0, > 0,使得 = + B. 不存在点 , ,使得 ⊥ C. | √ 5 |的最小值为 2 √ 10 D. 异面直线 与 所成角的余弦值为 5 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12.在空间直角坐标系 中,点 ( , 0,2 3)与 ( , 0, )关于原点 对称,则点 的坐标为_____. 13.记数列{ }的前 项和为 ,已知 +1 + 1 = 2 + 2 ( ≥ 2)且 1 = 1, 2 = 3,则 = _____. 14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为 “蒙日圆”,它的圆心与椭圆的中心重合,半径的平方等于椭圆长半轴长和短 2 2 半轴长的平方和.如图为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)及其蒙日圆 , 的离心 √ 6 率为 ,点 , , , 分别为蒙日圆 与坐标轴的交点, , , , 分 3 别与 相切于点 , , , ,则四边形 与四边形 的面积的比值为 _____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题15分) 设{ }为递增的等差数列,其前 项和为 ,已知 2 1 = 6,且2 5 = 3. (Ⅰ)求{ }的通项公式; (Ⅱ)求使 > 3 成立的 的最小值. 16.(本小题15分) 如图,在四棱锥 中,四边形 是矩形. = = 2, = 4, = 2√ 2, = 2√ 5, 为 的 中点. (1)证明: ⊥ ; (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 第 2 页,共 9 页 17.(本小题15分) 已知 是抛物线 : 2 = 2 (0 < < 3)的焦点, ( 0, 4)是 上一点,且 在 的准线上的射影为 ,| | = 5. (1)求 的方程; 4 (2)过点 作斜率大于 的直线 与 交于另一点 ,若△ 的面积为3,求 的方程. 3 18.(本小题15分) 2 2 已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为2,左、右焦点分别是 1, 2, 是 的右支上一点, 1 的中点为 ,且| 1| | | = 1( 为坐标原点), 是 的右顶点, , 是 上两点( ... ...
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