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课件网) §7.3 向量的内积及其运算 【复习目标】 1.理解向量内积的概念与性质,特别要理解向量夹角的概念. 2.掌握向量内积的运算律,能用向量的内积解简单平面几何问题. 2.向量内积的运算律 (1)a·b=b·a; (2)λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 【说明】 一般地,(a·b)·c≠a·(b·c).也就是说,向量内积没有“乘法的结合律”. 【例题精解】 【例1】 已知|a|=2,|b|=5,
=60°.求: (1)a·b; (2)(2a+b)(a-2b). 【点评】 运用向量内积的定义公式、向量内积运算律求解. 【对点练习1】 已知|a|=3,|b|=2,=30°.求: (1)a·b; (2)2a·(a+b). 【例2】 已知a·b=-8,|a||b|=16,求. 【对点练习2】 已知a·b=8,|a|=|b|=4,则= . 【例3】 已知|a|=6,|b|=8,=120°,求|a+b|2. 【解】 |a+b|2=(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2 =36+2×6×8×cos 120°+64=52. 【点评】 写出|a+b|2=(a+b)·(a+b)这一关系式,是解题的切入点. 【对点练习3】 已知|a|=1,|b|=2,=60°,求|a+b|. 【仿真训练】 一、选择题 1.若向量a与b是表示不同的非零向量,则下列命题为真命题的是 ( ) A.a·b表示一个向量 B.a·b表示一个实数 C.a·b=|a|·|b| D.的范围是(0,π) 【答案】 B 【答案】 A 【答案】 A 4.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a= ( ) A.3 B.9 C.12 D.13 【答案】 D 【答案】 A 6.若a与b均为单位向量,则下列命题为真命题的是 ( ) A.a=b B.a·b=1 C.若a∥b,则a=b D.|a|2=|b|2 8.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 9.若a⊥b,则一定有 ( ) A.|a+b|=|a|+|b| B.|a+b|=|a|-|b| C.|a+b|=|a-b| D.|a-b|=|a|+|b| 二、填空题 11.若|a|=3,|b|=4,=120°,则2a·b= . 12.若a·b=-8,|a|=4,|b|=2,则= . 14.已知|a|=3,|b|=2,=120°,则|a+b|= . (课件网) §7.2 数乘向量 【复习目标】 1.掌握数乘向量的概念、意义及运算. 2.掌握轴上向量的坐标及其运算. (2)几何意义:λa是把向量a沿a的方向或a的反向放大或缩小而得到. (3)运算律. 若λ,μ为实数,则: ①λ(μ a)=(λμ)·a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb. 【说明】 数乘向量的运算律与实数的运算律类似. 【点评】 向量的加法、减法与数乘向量的综合运算,叫做向量的线性运算.此题均为向量的线性运算,其方法类似于实数范围内代数式的运算. 【答案】 (1)-2a (2)-4a+9b 【点评】 解含未知向量的方程与解一元一次方程一样. 【点评】 此题是轴上向量的坐标(也叫数量)运算,用终点坐标减起点坐标即可;向量的长度就等于数量的绝对值. 【答案】 -2 5 【答案】 B 【答案】 C 【答案】 B 4.下列不一定属于平行向量的一组是 ( ) A.a与b B.b与-2b C.a与2a D.a与-a 【答案】 A 【答案】 A 8.设数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2,且x2=-5,|AB|=2,则x1= ( ) A.3 B.7 C.3或7 D.-3或-7 10.已知向量a=e1+2e2,b=2e1-e2,则向量与a+2b与2a-b( ) A.一定共线 B.一定不共线 C.仅当e1与e2共线时共线 D.仅当e1=e2时共线 二、填空题 11.5(a-2b)+(2a+3b)= . 12.若向量a=e1+e2,b=e1-e2,则a+2b= . 14.已知向量a,b为起点相同的两个不共线向量,若a∥c,b∥c,则c= . (课件网) 第七章 平面向量 【考试内容】 1.向量的概念;向量的运算. 2.轴上向量的坐标及其运算;平面向量的直角坐标运算. 3.两个向量平行(共线)的条件;两个向量垂直的 ... ... 