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课件网) §1.4 充分条件、必要条件、充要条件 【复习目标】 1.理解推断符号“ ”“ ”“ /”“ /”,等价符号“ ”的意义. 2.正确的将命题p q(真)改写成用充分条件或必要条件表述的命题. 3.理解并掌握充分条件、必要条件、充分必要条件以及等价的实质含义. 4.正确判断命题p是q的“充分条件”“必要条件”“充分必要条件”. 【知识回顾】 1.推出:若“如果p,那么q”是真命题,就说由p推出q,记为p q. 2.充分条件、必要条件:若p q,则称p是q的充分条件,也称q是p的必要条件. 【说明】 (1)p q;(2)p是q的充分条件;(3)q是p的必要条件.这三个语句表达的是同一逻辑关系,只是说法不同. 3.充要条件:如果p q,并且q p,那么p是q的充分且必要条件,简称充要条件,记作“p q”.又称p与q等价. 【说明】 p q;p是q的充分必要条件;p与q等价;三者说法不同,意义相同. 【例题精解】 【例1】 用充分条件、必要条件或充要条件叙述命题: (1)“如果x=1,那么x2=1”叙述为: 或 . (2)“x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=y=0”叙述为: . (3)“如果四边形是正方形,那么这个四边形的四边相等”叙述为: . 【解】 (1)“x=1”是“x2=1”的充分条件;“x2=1”是“x=1”的必要条件 (2)x,y∈R,“x2+y2=0”是“x=y=0”的充要条件 (3)“四边形是正方形”是“这个四边形的四边相等”的充分条件 【点评】 在应用充分条件与必要条件的形式叙述命题时,要同时考虑命题“如果p,那么q”和“如果q,那么p”是否为真命题. 【对点练习1】 用充分条件、必要条件或充要条件叙述命题: (1)“如果x-2=0,那么x2=4”叙述为: 或 . (2)“x,y∈R,如果|x|=|y|,那么x=y”叙述为: . (3)“如果 ab=0,那么a=0或b=0”叙述为: . 【答案】 (1)“x-2=0”是“x2=4”的充分条件; ———x2=4”是“x-2=0”的必要条件 (2)“|x|=|y|”是“x=y”的必要条件 (3)“ab=0”是“a=0或b=0”的充要条件 【例2】 用充分条件、必要条件、充要条件填空: (1)“x是自然数”是“x为整数”的 ; (2)“x>2”是“x>5”的 ; (3)“|a|=|b|”是“a2=b2”的 ; (4)“x<-2”是“x<0”的 . 【解】 (1)充分条件 (2)必要条件 (3)充要条件 (4)充分条件 【点评】 理解如果由p推出q(p q),就说p是q的充分条件,或者说q是p的必要条件含义;同时考虑问题要全面,命题“p q”为真,“q p”是否为真.另外可以通过举反例说明.如第(2)题x>2,取x=3,显然3>2,但不能推出3>5,然而x>5,却必定能推出x>2,因此“x>5”是“x>2”的充分条件,也即为“x>2”是“x>5”的必要条件. 【对点练习2】 用充分条件、必要条件、充要条件填空: (1)“x为整数”是“x为有理数”的 ; (2)“x<1”是“x<3”的 ; (3)“{x|x2=1}”是“{-1,1}”的 ; (4)“-1
y”是“x+2>y+2”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 (2)“x=1”是“x2=1”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 (3)“a·b≠0”是“a≠0且b≠0”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 (4)方程x2+2x+q=0有实数根的充要条件是 ( ) A.q<1 B.q≥1 C.q≤1 D.-1≤q≤1 【解】 (1)C (2)A (3)C (4)C 【点评】 理解如果由p推出q(p q),就说p是q的充分条件,或者说q是p的必要条件含义;同时考虑问题要全面,命题“p q”为真,“q p”是否为真. 【对点练习3】 (1)“x>2且y>2”是“x+y>4”的 ( ) ... ... 