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课件网) 6.1.3 基本初等函数的导数 第六章 导数及其应用 1.能根据导数的定义推导常数函数与幂函数的导数. 2.掌握基本初等函数的导数公式表，会利用导数公式表求导数. 3.会求曲线的切线方程. 如何求函数y=f(x)在点x0处的导数？ 这涉及到函数在任意一点的导数问题， 通过f'(x0)= 可知f'(x)=， 这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数. 问题：求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？ 1.导函数 一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f'(x).于是，在f(x)的定义域内，f'(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数， 记作f'(x)(或y'，yx')，即f'(x)=y'=yx'=. 知识梳理 合作完成：求常函数f(x)=c以及常用幂函数的导数. 原函数 导函数 f(x)=C，其中C为常数 f'(x)=____ f(x)=x f'(x)=____ f(x)=x2 f'(x)=____ f(x)=x3 f'(x)=____ f(x)= f'(x)=_____ f(x)= f'(x)= 0 1 2x 3x2 - 改写成幂指数形式 由此推测,对任意的幂函数 ,都有： 知识梳理 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝C(C为常数) f ′(x)＝_____ f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝_____ f (x)＝sin x f ′(x)＝_____ f (x)＝cos x f ′(x)＝_____ f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____(a＞0，且a≠1) f (x)＝ex f ′(x)＝_____ f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____(a＞0，且a≠1) f (x)＝ln x f ′(x)＝_____ 0 思考:(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系 (2)函数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系 (1)f(x)=ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)=ex也是f′(x)=axlna当a=e时的特殊情况. (2)f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例，f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例. 例1 求下列函数的导数. 求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)利用导数的定义求导，但运算比较复杂； (2)利用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征，将题中的函数化为基本初等函数，再选择合适的求导公式求解. 归纳总结 例2 已知函数f(x)=，求曲线y=f(x)在点A(4，2)处的切线方程. 解：由f(x)=得f'(x)=， 在点A(4，2)处的切线k=f'(4)=， 故所求切线方程为y-2=(x-4)，即x-4y+4=0. 变式：求曲线y=f(x)=上与直线y=2x-4平行的切线方程. 解：设切点为(x0，y0)， 由f(x)=得f'(x)=，故f'(x0)=， ∵切线与直线y=2x-4平行，∴=2， ∴x0=，∴y0=， 故所求切线方程为y-=2(x-)，即16x-8y+1=0. 例3 已知函数
. （1）求曲线
在点
处的切线方程； （2）求曲线
过点
的切线方程. 解：（1） 由
，得
， 故切线斜率
， 又
， 所以切线方程为
，即
. （2）① 当
为切点时，由（1）知，切线方程为
； ②当
不为切点时， 设切点为
，则切线斜率
， 故切线方程为
， 又切线过点
，所以
， 解得
（舍去）或
， 因此切线方程为
. 综上，过点
的切线方程为
或
. 例3 已知函数
. （2）求曲线
过点
的切线方程. 求曲线方程或切线方程时，应注意： 1.切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； 2.曲线在切点处的导数就是切线的斜率； 3.必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． 归纳总结 基本初等函 ... ...
