第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 类型一 三角函数的周期性 【例1】 求下列函数的最小正周期． (1)y＝2sin； (2)y＝3； (3)y＝|tan x|； (4)y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1. 求三角函数最小正周期的基本方法 1．通常将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再用周期公式求出； 2．利用图象的根本特征，作出图象，观察得出． 【训练1】 (1)下列函数中，是周期函数的为( ) A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0 (2)若f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是_____. 类型二 三角函数的奇偶性 【例2】 (1)函数f(x)＝2sin2－1是( ) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 (2)已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为_____． 三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质：y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)． 【训练2】 (1)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为_____． (2)(2024·湖北四调)设函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)对任意的x(x∈R)均满足f(－x)＝f(x)，则tan φ＝_____. 类型三 三角函数的对称性 【例3】 已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是( ) A．图象关于点对称 B．图象关于点对称 C．图象关于直线x＝对称 D．图象关于直线x＝对称 三角函数对称性应用技巧 1．求函数图象的对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式． 2．判断某一直线、某一点是否为函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断． 【训练3】 (1)函数y＝tan的图象的对称中心是_____． (2)(2025·合肥质量检测)已知函数f(x)＝2sin(3x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴为直线x＝，当x∈[0，t]时，f(x)的最小值为－，则t的最大值为_____． 1．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是( ) A． B． C． D． 2．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有( ) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 3．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝( ) A．－ B．－ C． D． 4．(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则( ) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 5．(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_____． 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 关键能力·落实 【例1】 解 (1)因为y＝2sin，所以T＝＝3π，即y＝2sin的最小正周期为3π. (2)y＝3的最小正周期是y＝3cos的最小正周期的一半，即T＝×＝. (3)画出y＝|tan x|的大致图象如图所示： 由图象易知T＝π. (4)因为y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1＝－sin 2xcos－cos 2xsin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，所以最小正周期T＝＝π. 【训练 ... ...
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