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课件网) 第7章 立体几何 7.4 空间中的平行关系 考点一 空间中线线、线面、面面平行的定义 1. 两条直线平行的定义：在同一平面内不相交的两条直线互相平行. 注：事实上，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的 传递性. 2. 直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条 直线与这个平面平行.即a∩α＝ a∥α（如图所示）. 3. 两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么就称这两个平面互相平 行.即α∩β＝ α∥β（如图所示）. 4. 平行直线、平行平面都具有传递性. 考向一 线面平行的判定定理和性质定理 典型例题 例1 （2023年安徽省文化素质分类考试）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面 ABCD为平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，则下列结论正确的是 （ ）. A. MN∥平面PAD B. PA∥MN C. MN⊥平面PCD D. PC⊥MN 【典例解析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系.取CD的中 点F，连接MF，NF. 因为MF∥AD，AD 平面PAD，MF 平面PAD，所以 MF∥平面PAD. 同理可证，NF∥平面PAD. 又MF 平面MNF，NF 平面 MNF，MF∩NF＝F，所以平面MNF∥平面PAD. 因为MN 平面MNF，故 MN∥平面PAD；取BP的中点Q，连接MQ，则PA∥MQ，因为MN∩MQ＝ M，所以MN与PA异面；仅根据所给条件，无法判断MN与平面PCD、PC与 MN的位置关系.故选A. 【方法提炼】（1）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知 直线平行的直线，可根据几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质 定理或者构造平行四边形等证明两直线平行.注意说明已知的直线不在平面内. （2）判断线面平行的方法：①利用线面平行的定义（反证法）；②利用线面平 行的判定定理；③利用面面平行的推论. （3）线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到 线面平行，再通过线面平行得到线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体 步骤如下： ①确定（或寻找）一条直线平行于一个平面； ②确定（或寻找）过这条直线且与这个平行平面相交的平面； ③确定交线； ④由性质定理得出线线平行的结论. 变式训练1 C A. MN一定与BB1异面 B. MN一定与DD1异面 C. MN可能同时与平面AA1D1D、平面BB1C1C平行 D. MN不可能与平面ABB1A1平行 【解析】取棱CD的中点P，连接BP，B1N，NP，显然，直线BB1与点N确定 的平面为平面BB1NP，若M取BP与AC的交点时，MN 平面BB1NP，此时 MN与BB1共面；当点M与点C重合时，MN与DD1共面，且MN与平面ABB1A1 平行；当点M为AC中点时，MN同时与平面AA1D1D、平面BB1C1C平行. 考向二 面面平行的判定定理和性质定理 典型例题 例2 如图所示，在空间四边形PABC中，连接PB，AC，D，E，F分别是棱 PA，PB，PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC. 【典例解析】本题考查面面平行的判定定理和性质定理. ∵D，E分别是棱PA，PB的中点，∴DE∥AB. 又∵DE 平面ABC，AB 平面ABC，∴DE∥平面ABC. 同理可证EF∥平面ABC. 又∵DE 平面DEF，EF 平面DEF，且DE∩EF＝E， ∴平面DEF∥平面ABC. 【方法提炼】（1）判定面面平行的常用方法： ①面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点； ②面面平行的判定定理或推论； ③垂直于同一条直线的两个平面平行； ④利用平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平 面平行. （2）应用面面平行的性质定理解题的基本步骤： ①定条件：审题，看是否有面面平行； ②找平面：找（或作）第三个平面与已知两个平面相交； ③定交线：确定交线位置； ④得平行：得两条交线互相平行. 变式训练2 A. m α，n β，m∥n B. m⊥α，n⊥β，m⊥n C. m∥α，n∥β，m∥n D. m α，n α，m∩n＝P ... ...
