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课件网) 第7章 立体几何 7.5 空间中线线、线面、面面所成的角 考点一 异面直线所成的角 1. 异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点 的直线是异面直线. 2. 异面直线的画法（衬托平面法）. 如图1、图2所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个 平面来衬托. 3. 判断两条直线为异面直线的方法： （1）异面直线判定定理； （2）两条直线既不平行也不相交. 4. 异面直线所成角的定义. 已知空间中两条异面直线a，b，经过空间中任意一点O，作直线a1∥a， b1∥b，我们把相交直线a1与b1所成的锐角（或直角），叫作异面直线a，b所成 的角（如图所示）. 考点二 直线与平面所成的角 7. 平面的垂线：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面互相垂直.这条直线叫作这个平面的垂线，这个平面叫作这条直 线的垂面，直线与平面的交点叫作垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫作 这点到这个平面的垂线段. 如图所示，直线l叫作平面α的垂线，O点为垂足.直线l与平面α垂直记作l⊥α. 8. 平面的斜线：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条 直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上任意一点与斜足 之间的线段叫作斜线段. 如图所示，直线m叫作平面α的斜线，B点为斜足. 9. 射影：经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线，连接垂足与斜足的直线叫作 斜线在这个平面上的射影. 如图所示，直线m是平面α的斜线，点B为斜足，A∈m且AO⊥α，垂足为O， 则OB是斜线m在平面α内的射影. 考点三 二面角 12. 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为 半平面. 13. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.其中这条直 线叫作该二面角的棱，这两个半平面叫作该二面角的面.如图所示，两图中的二 面角可分别记作α－l－β和B－AC－D. 14. 二面角的平面角. 如图所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α与 β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的最小正角叫作这个二面 角的平面角. 二面角的大小可用它的平面角的大小度量，二面角的平面角是多少度，就说这个 二面角是多少度. 规定：当二面角的两个半平面重合时，二面角为零角；当二面角的两个半平面构 成一个面时，二面角为平角；当二面角的平面角为直角时， 称为直二面角. 15. 二面角的取值范围是[0，π]. 考向一 异面直线所成的角 典型例题 例1 （1）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置 关系. ①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； ④直线AB与直线B1C的位置关系是 . （2）（2023年安徽省文化素质分类考试）如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，下列直线中与BD所成的角为60°的是（ ）. A. A1B1 B. A1C1 C. AA1 D. B1C （3）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD的公垂线 是（ ）. A. A1D B. BC C. AD D. CD 第（2）题图 第（3）题图 【典例解析】（1）本题考查直线与直线的位置关系. ①平行.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC，所以四边形 A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C. ②异面.直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. ③相交.直线D1D与直线D1C相交于点D1. ④异面（垂直）.直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内，且AB⊥B1C. （2）本题考查空间几何体中直线与直线所成的角.因为A1B1∥AB，所以直线 A1B1与直线BD所成的角即为∠ABD＝45°；因为A1C ... ...
