2024-2025学年北京市朝阳区和平街第一中学高一上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年北京市朝阳区和平街第一中学高一上学期10月月考 数学试题 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知命题，则命题的否定为( ) A. B. C. D. 3.已知全集，，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 4.设集合，若，则等于( ) A. B. C. D. 5.已知，则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.若，是任意实数，且，则( ) A. B. C. D. 7.不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.已知集合，，，则实数的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 10.设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，。 11.已知函数，则 ． 12.设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ． 13.满足的集合的个数为 个 14.已知集合若，则 ． 15.函数的图像如图所示，则不等式的解集是 ，不等式的解集是 ． 三、解答题：本题共6小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知集合，集合． 化简集合并求，． 若全集，求． 17.本小题分 完成如下三个小题并写出必要过程 设，，比较的大小． 已知，求证：； 已知，设；，比较与的大小． 18.本小题分 已知集合，，． 求，； 若，求实数的取值范围． 19.本小题分 函数 若，求的解集； 当恒成立时，求的取值范围； 若方程有两个实数根，且，求的取值范围 20.本小题分 设一个矩形长为，宽为． 当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值． 当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值． 当该矩形的面积比周长多时，求该矩形面积的取值范围． 21.本小题分 设集合定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． 若，求集合； 若，求的所有可能的值组成的集合； 若，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.， ，． 或， ． 17.因为， ． 因为，所以，由同向不等式的可加性可得． 因为，，，所以， 所以． 18.，， ，． ， 当时，，． 当时，． 综上所述，或． 19.当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为． 当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立． 综上，的取值范围是． 有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或． 20.该矩形面积为，， 故当时，取得最大值，最大值为； 该矩形周长， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故该矩形周长的最小值为； 由题意得，即， 因为，由基本不等式得，故， 即，解得或舍去， 故， 该矩形面积的取值范围为． 21.解：由，则， ． 当，不妨记集合为，且让， 则必有， 和中剩下的，，满足， 并且，，下列有四种可能： 一是，，，则 二是与，与，与三对数有两对相等，另一对不相等， 三是与，与，与三对数有一对相等，其它两对不相等， 四是与，与，与三对数全不相等，则． 综上述，的所有可能的值组成的集合为． 当，不妨记集合为，且让， 则必有， 和中剩下的元素为，满足， 所以有两种可能： 当，当， 当，不妨记这个元素为，，，，，，且让， 则必有，所以 当，， 不妨记，，，，， 则，则必有， 积中剩下的，，满足，则， 下面先证明 假设，由， 则，，， 即，，，所以， 令，由，则， 所以，则，与事实不符，所以， 下面再证明 由上述分析知：要使，积中剩下的，，满足， 必有两对积与，，，，，，七对中的两对相等， 有如下五种情况： 一是，则可推得，令其比值为，则，于是，， 由，则，则，显然无解， ... ...