河北省衡水中学2025届高三上学期期中综合素质评价数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足，则( ) A. B. C. D. 2.设全集，集合，则( ) A. B. C. D. 3.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台已知正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是( ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，若，且，则( ) A. B. C. D. 5.已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列条件能推出的是( ) A. ，，且， B. ，，且 C. ，，且 D. ，，且 6.函数，若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则( ) A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 8.如图，在棱长为的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是 动点的轨迹：指动点运动所形成的图形 A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B. 保持与垂直时，点的轨迹长度为 C. 若保持，则的轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为直角梯形 二、多选题：本题共3小题，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.以下是真命题的是( ) A. 已知，为非零向量，若，则与的夹角为锐角 B. 已知，，为两两非共线向量，若，则 C. 在三角形中，若，则三角形是等腰三角形 D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 10.已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则( ) A. 的图象关于对称 B. C. D. 11.已知中，，，分别在线段，上，且，现将沿折起，使二面角的大小为以下命题正确的是( ) A. 若，，则点到平面的距离为 B. 存在使得四棱锥有外接球 C. 若，则三棱锥体积的最大值为 D. 若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 13.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为 ． 14.曲线在，两点处的切线分别为，，且，则 ；若，交点的横坐标为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知的面积为，为边的中点，，． 求边的长 求角的正弦值． 16.本小题分 如图，三棱台中，是正三角形，平面，，，分别为棱，的中点． 证明：平面 求直线与平面所成的角的正弦值． 17.本小题分 已知数列和满足，，，， 求与； 记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求的取值范围． 18.本小题分 如图，四棱锥的底面为正方形，，分别为，的中点，且平面平面． 证明：； 若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值． 19.本小题分 设是定义域为且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”． 判断是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由； 已知，是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求的取值范围； 设，函数设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为若，且，，求的最小值．参考数据： 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：设，，则． 因为为边的中点，所以． 因为的面积为，所以． 因为，所以． 得，所以，所以， 所以的长为． 在中，由余弦定理得， 所以，得， 在中，由正弦定理得， 所以，所以． 16.证明：因为是正三角形，为中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面， 所以平面， 又因为 ... ...
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