上海中学2024学年第二学期高一年级数学期中（B卷） 2025.05 一、填空题（12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．1小时内秒针转过了_____．（用弧度制表示） 2．已知，则_____． 3．已知函数的图象的一部分如下图所示，则函数的初相为_____． 4．函数的图象的对称中心的坐标是_____． 5．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____． 6．已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围 是_____． 7．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为_____． 8．已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是_____． 9．设函数的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为_____． 10．定义：余割。已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的取值范围为_____． 11．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则_____． 12．设集合 有_____个真子集． 二、选择题（4题，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．函数的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 14．已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A． B． C． D． 15．在中，三个角、、所对的边分别为、、，下列四个条件中有几个是为直角三角形的充分条件（ ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知函数，给出下列结论： ①是周期函数； ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（ ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 三．解答题（，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题，每小问均为7分） 记的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 18．（本题，每小问均为7分） 幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数． （1）求的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（本题，（1）小问为4分，（2）（3）小问为5分） 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，． （1）求索道的长； （2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 20．（本题，每小问均为6分） 已知函数 （1）求函数的最小正周期 （2）当时，求函数的最大值和最小值 （3）已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，求实数的取值范围 21．（本题，每小问均为6分） 已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“LP”函数． （1）分别判断和是否为“LP”函数 （2）若函数是“LP”函数，求：的取值范围 （3）若为上的“LP”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，，都有：． 参考答案 一、填空题（12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．1小时内秒针转过了_____．（用弧度制表示） 【答案】 2．已知，则_____． 【答案】 3．已知函数的图象的一部分如下图所示，则函数的初相为_____． 【答案】 4．函数的图象的对称中心的坐标是_____． 【答案】， 5．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】∵函数，其中，在区间上恰有2个零点， ，∴．求得，则的取值范围为． 6．已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围 是_____． 【答案】 【解析】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故． 7．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的 ... ...
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