北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(PDF版，含答案)

北京市海淀区 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知集合 = { ∈ | + 1 > 0}， = { | 2 ≤ ≤ 3}，则 ∩ =( ) A. { | 1 < ≤ 3} B. {0,1,2,3} C. { | 1 < < 3} D. { 1,0,1,2} 2.命题“ > 0，2 2 = 5 1”的否定是( ) A. > 0，2 2 ≠ 5 1 B. ≤ 0，2 2 = 5 1 C. > 0，2 2 ≠ 5 1 D. ≤ 0，2 2 = 5 1 3.函数 ( ) = 3 + 5的零点所在区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 4.下列各组函数表示同一函数的是( ) A. ( ) = ， ( ) = √ 2 1, > 1 B. ( ) = | 1|， ( ) = { 1 , < 1 2 1 C. ( ) = + 1， ( ) = 1 0 D. ( ) = ， ( ) = 2 5.下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是增函数的是( ) 1 A. ( ) = B. ( ) = | | + 1 C. ( ) = 32 D. ( ) = 2 2 1 1 6.设 ， ∈ ，则“ > > 0”是“ < ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.” 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我 第 1 页，共 6 页 们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( ) 1 1 1 1 A. ( ) = B. ( ) = C. ( ) = 2 D. ( ) = | 1| || | 1| 1 2+1 8.若关于 的不等式 2 4 2 > 0在区间(1,4)内有解，则实数 的取值范围是( ) A. ( ∞, 2) B. ( 2, +∞) C. ( 6, +∞) D. ( ∞, 6) 9.已知函数 ( )的图像关于直线 = 1对称，当 2 > 1 > 1时，[ ( 2) ( 1)]( 2 1) < 0恒成立.设 = 1 ( ), = (0), = (3)，则 ， ， 的大小关系为( ) 2 A. > > B. > > C. > > D. > > 10.对于任意的 ∈ ，[ ]表示不超过 的最大整数.十八世纪， = [ ]被“数学王子”高斯采用，因此得名 为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，下列说法错误的是( ) A. 函数 = [ ]( ∈ )为奇函数 B. 函数 = [ ]的值域为 C. 对于任意的 ， ∈ +，不等式[ ] + [ ] ≤ [ + ]恒成立 D. 不等式[ ]2 4[ ] + 3 < 0的解集为{ |2 ≤ < 3} 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 1 11.函数 = √ 3 1 + 的定义域是_____． 1 2 +1 12.不等式 ≤ 1的解集为_____． 2 13.已知 = {1, 2}， = {1,3, }，若 ∪ = ，则 的值为_____． 2 + 2 + 3, ≤ 1 14.已知函数 ( ) = { 是 上的减函数，则实数 的取值范围是_____． + 1, > 1 15.已知函数 ( ) = | |，其中 ∈ ，下列结论正确的是_____． ①存在实数 ，使得函数 ( )为奇函数 ②存在实数 ，使得函数 ( )为偶函数 第 2 页，共 6 页 ③当 > 0时， ( )的单调增区间为( ∞, )，( , +∞) 2 ④当 < 0时，若方程 ( ) + 1 = 0有三个不等实根，则 < 2 三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题8分) 已知全集 = ， = { || | < 3}， = { | 2 4 5 > 0}，求 ， ∩ ， ( ∪ )． 17.(本小题12分) 已知函数 ( ) = 2 + + 1． 1 4 (1)若 (1) = 2，且 > 0， > 0，求 + 的最小值： (2)若 = 1，解关于 的不等式 ( ) ≤ 0． 18.(本小题12分) 已知函数 ( ) = ， ∈ ( 4,4)． 16 2 (1)证明： ( )为奇函数． (2)判断 ( )在( 4,4)上的单调性，并证明你的结论． (3)解关于 的不等式 ( 1) + (2 ) < 0． 19.(本小题8分) 对于定义域为 的函数，如果存在区间[ , ] ，同时满足下列两个条件： ① ( )在区间[ , ]上是单调的； ②当定义域是[ , ]时， ( )的值域也是[ , ].则称[ , ]是函数 = ( )的一个“黄金区间”． 1 (1)请证明：函数 = 1 ( > 0)不存在“黄金区间”． (2)已知函数 = 2 4 + 6在 上存在“黄金区间” ... ...