重庆市第二外国语学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷(PDF版，含答案)

重庆市第二外国语学校 2023-2024 学年高一下学期期中数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 5 1.已知复数 = ，则 =( ) A. 5 B. 1 5 C. 1 5 D. 1 + 5 2.向量 = (4,2)， = (2, )，若 ⊥ ，则( ) 1 1 A. = 4 B. = 4 C. = D. = 4 4 3.在△ 中， = 60°， = 8， = 4√ 3，则角 的值为( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4.已知向量 , 满足 ( + ) = 2，且| | = 2，则向量 在向量 上的投影向量为( ) 1 1 A. B. C. D. 1 2 2 5.在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若△ 的面积为8， = 8， = 16，则 =( ) A. 2√ 26 B. √ 26 C. 2√ 10 D. √ 10 6.已知平面向量 ， 满足 = (2,4)，| 2 | = 8且( 2 ) ⊥ ，则| | =( ) A. 10 B. 12 C. 2√ 5 D. 2√ 6 7.在复平面内，复数 = + ( ∈ , ∈ )对应向量 ( 为坐标原点)，设| | = ，以射线 为始边， 为终边逆时针旋转的角为 ，则 = ( + )，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： 1 = 1( 1 + 1)， 2 = 2( 2 + 2)，则 1 2 = 1 2[cos( 1 + 2) + ( 1 + 2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘 方公式： = [ ( + )] = ( + )，则复数( 1 + √ 3 )14所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.如图，在三棱锥 中， = = = = 6， = = 4， ， 分别是 ， 的中点.则异面直线 ， 所成角的余弦值为( ) 5 A. 8 3 B. 8 7 C. 8 7 D. 8 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若{ 1 , 2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的( ) 第 1 页，共 6 页 1 A. { 1 2 , 2 1} B. {2 1 2 , 1 2 2 } C. {2 2 3 1 , 6 1 4 2} D. { 1 + 2 , 1 + 3 2} 10.下列命题正确的是( ) A. 复数 = 2 2 + 3的虚部为 1 B. 设 为复数，(1 ) = 1 + ，则| | = 2 C. 若复数 = + ( , ∈ )为纯虚数，则 = 0， ≠ 0 D. 复数2 3 + 8在复平面内对应的点在第四象限 11.在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 ， 1， 1的中点，则( ) A. 直线 1与直线 异面 B. 直线 1 与平面 平行 1 C. 三棱锥 的体积是正方体 1 1 1 1体积的 12 D. 平面 截正方体所得的截面是等腰梯形 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 4 12.已知复数 = + 2 ( 为虚数单位)，则| | = _____． 1+ 13.已知长方体全部棱长的和为12，表面积为3，则该长方体的外接球的表面积为_____． 2 14.在△ 中，∠ = , 在边 上，且 平分∠ ，若 = 2 = 4，则 的长为_____． 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) △ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知( + 2 ) + = 0． (Ⅰ)求角 ； (Ⅱ)若 = 6，△ 的周长为6 + 4√ 3，求△ 的面积． 16.(本小题15分) 如图，在四边形 中， ⊥ ， // ， = 3， = 2， = 2√ 2，∠ = 45°，四边形 绕 着直线 旋转一周． 第 2 页，共 6 页 (1)求所形成的封闭几何体的表面积； (2)求所形成的封闭几何体的体积． 17.(本小题15分) 已知向量 = ( 4,8)， = ( , 4)， (Ⅰ)若 //( + )，求实数 的值； 1 (Ⅱ)若 ⊥ ( )，求向量 与 的夹角的余弦值． 2 18.(本小题17分) 如图， 是平行四边形 所在平面外一点， 是 的中点． (1)求证： //平面 ； (2)若 是 上异于 、 的点．连结 交 于 ，连结 交 于 ，求证： // ． 19.(本小题17分) 3( ) 3 2 已知△ 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，且 = ． + (1)求 ； 16 (2)若△ 的面积为 √ 2； 3 ①已知 为 的中点，求△ 底边 上中线 长的最小值； ②求内角 的角平分线 长的最大值． 第 3 页，共 6 页 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9. ... ...