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课件网) 14.3 角的平分线 第十四章 全等三角形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 作一个角的平分线 角的平分线的性质 证明几何命题的一般步骤 角的平分线的判定 三角形的角平分线的性质(拓展点) 知识点 作一个角的平分线 1 知1－讲 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. 特别解读 1 . “大于MN 的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交. 知1－讲 (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 2.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 3.用尺规作一个角的平分线，实质上是运用“SSS”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找出平分一个角的射线. 知1－讲 证明：根据前两步作法可知OM=ON，CM=CN. 在△ OMC 和△ ONC 中， OM=ON， CM=CN， OC=OC， ∴△ OMC ≌△ ONC(SSS). ∴∠ AOC= ∠ BOC. 知1－讲 如图14.3-2，已知：∠ AOB，在∠AOB内，求作： ∠ AOM=∠ AOB. 例1 解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可. 知1－练 解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为 半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F； (2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角(如图14.3 -2). 知1－练 1-1. 已知：∠ AOB，如图所示，求作：∠ AOB的邻补角的平分线(保留作图痕迹，不写作法) 知1－练 解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一) 知1－练 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 知识点 角的平分线的性质 2 知2－讲 2. 几何语言：如图14.3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 只要符合基本模型，直接得出结论，不需要证全等 知2－讲 特别解读 1.角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等). 2.利用角的平分线的性质证明线段相 等时，证明的线段是“垂直于角两边的 线段”， 如图14.3-4 ①所示，而不是 “垂直于角平分线的线段”，如图14.3-4 ②所示. 知2－讲 如图14.3-5，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取 点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 例2 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. 知2－练 证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM=PN. OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， 知2－练 2-1. 如图，已知AC 平分∠ BAD，F在AD上，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB．求证：BE=FD． 知2－练 知2－练 如图14.3-6，在△ ABC 中，∠C= 90°，AD 平分∠CAB，交BC于点D，BD=2CD，点D 到AB 的距离为5.6 cm，求BC 的长. 例3 解题秘方：依据角平分线的性质得出CD的长，进而得出BD 的长，依据BC=CD＋BD即可得解. 知2－练 解：如图14.3 - 6，过点D 作DE⊥AB 于点E. ∵∠ C=90°，AD 平分∠ CAB， 点D 到AB 的距离为5.6 cm， ∴ CD=DE=5.6cm. 又∵ BD=2CD，∴ BD=2×5 .6=11.2(cm). ∴ BC=CD＋BD=5.6＋11.2=16.8(cm). 知2－练 3-1.[期中·福州福清市] 如图， 在△ABC中， ∠C＝90 °，BP 平分∠ABC，AC＝ ... ...
