章末复习课 知识网络·形成体系 考点聚焦·分类突破 考点一 导数几何意义的应用 1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点． 2．通过对求切线方程的考查，提升学生的数学抽象、数学运算素养． 例1 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 跟踪训练1 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行． (1)求a的值； (2)求f(x)在x＝3处的切线方程． 考点二 利用导数研究函数的单调性 1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体． 2．通过对函数单调性的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 例2 设函数f(x)＝a ln x＋，a为常数，讨论函数f(x)的单调性． 跟踪训练2 已知a∈R，求函数f(x)＝2x2eax的单调区间． 考点三 利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域上的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值． 2．利用导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解；另一类是已知极值或最值，求参数的值． 3．通过对函数极值和最值的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养． 例3 设a>0且a≠1，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a ln x. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率； (2)求函数f(x)的极值点． 跟踪训练3 已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)． (1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值． 考点四 利用导数研究方程、不等式等综合问题 1．用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容． 2．通过对以上知识的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养． 例4 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求f(x)的极值点； (2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． 跟踪训练4 已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数． 温馨提示：请完成章末质量检测(二) 本册质量检测 章末复习课 考点聚集·分类突破 例1 解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)法一 设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝＋1， ∴直线l的方程为 y＝(x－x0)＋＋x0－16. 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝(－x0)＋＋x0－16. 整理得＝－8， ∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 法二 设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， 则k＝， 又∵k＝f′(x0)＝＋1， ∴＋1. 解得，x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－2 ... ...
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