三角恒等变换 题型一：两角和与差的三角函数公式的应用 【解题方法总结】 在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 例1．已知均为锐角，且，则（ ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解. 【解答过程】解：因为， 所以， 即， 又均为锐角，所以，即. 故选：D. 例2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【解答过程】解：因为，所以，又， 所以， 所以 ， 故选：D. 例3．若，，，，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【解答过程】由题意，可得，， 因为，，可得，， 则 . 故选：C. 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 【解题方法总结】 (1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式. (2)化简三角函数式的常用方法: ①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次. 例4．已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为、是不同的两个锐角，即， 所以，， 对于A，因为， 所以一定成立，故A错误； 对于D，可能成立，故D错误； 对于B，因为， 所以恒成立， 即一定不成立，故B正确； 对于C，可能成立，故C错误. 故选：B. 例5．化简： (1)； (2)． 【解题思路】（1）由结合和差角公式化简即可； （2）由结合和差角公式以及诱导公式化简即可. 【解答过程】(1) ； (2) . 例6．化简： (1)(tan 10°－)·； (2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]． 【解题思路】（1）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式计算出正确答案. （2）结合两角和与差的正弦公式计算出正确答案. 【解答过程】(1) 原式＝(tan 10°－tan 60°)·＝· ＝· ＝－·＝－＝－2. (2) 原式＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β. 题型三：利用二倍角公式求值 【解题方法总结】 对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化. 例7．已知 (1)求 ； (2)求 的值. 【解题思路】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可； （2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【解答过程】（1）由， 所以； （2） 例8．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系式求解即可. （2）利用正弦及余弦的二倍角公式展开后分式上下同除以，然后代入的值即可求解. 【解答过程】(1) ∵ ∴ ∴. (2) . 例9．已知 ，求 (1) 的值; (2) 的值. 【解题思路】（1）将已知等式分子分母同除，可构造关于的方程，求得； （2）将所求式子利用二倍角公式化为正余弦的二次式，配凑分母，分子分母同除可构造出关于的方程，代入可求得结果. 【解答过程】(1) ， ，解得：. (2) 题型四：给角求值 【解题方法总结】 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察 ... ...
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