7.2.1 任意角的三角函数(1) 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义． 2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号． 活动一 理解任意角α的正弦、余弦、正切 用(r，α)与用坐标(x，y)均可表示圆周上的点P，那么，这两种表示有什么内在联系？ 为了建立(x，y)与(r，α)之间的关系，我们可以从简单的情形出发，先考察α为锐角时的情形． 思考1 初中所学的“锐角的正弦、余弦、正切”是放在什么三角形中定义的？它与x，y，r，α之间的关系有什么联系？ 思考2 对于确定的锐角α，上述三个比值是否会随点P 在角α的终边上的位置改变而改变？ 思考3 对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离r怎样用x，y来表示？比值，，是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？ 思考4 如何定义任意角α的正弦、余弦、正切？ 1. 任意角的正弦、余弦、正切是在坐标系中定义的，角的范围是使比值有意义的实数集． 2. 任意角的正弦、余弦、正切值是比值，是一个实数，这个实数的大小只与α有关，而与α终边上的点P的位置无关． 3. 正弦、余弦、正切符号是一个整体，离开α的sin ，cos ，tan 是没有意义的，如sin α表示的是一个比值，而不是sin 与α的积． 例1 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦、正切值． 已知角α的终边过点P(x，3)，且sin α＝，求x的值． 由于sin α，cos α，tan α的值与α的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择α终边上的特殊点来计算sin α，cos α，tan α的值，例如选择α的终边与单位圆的交点． 例2 (1) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值； (2) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值． 例3 对于表中的角α，计算sin α的值，填写下表： α 0 π sin α α 2π sin α 把α的值看作横坐标，对应的sin α的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α，sin α). 活动二 掌握任意角的三角函数值的符号 思考5 从例3的表与所画的图中，你能得到什么结论？ 思考6 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？(将符号标在各个象限内) 例4 确定下列正弦、余弦、正切值的符号： (1) sin ； (2) cos (－465°)； (3) tan . 确定下列三角函数值的符号． (1) cos 250°； (2) sin ； (3) tan (－672°)； (4) tan . 三角函数值在各象限内的符号规律： 根据三角函数的定义知： (1) 正弦值的符号取决于纵坐标y的符号； (2) 余弦值的符号取决于横坐标x的符号； (3) 正切值当x，y同号时为正，异号时为负． 由此，三角函数值在各象限内的符号规律可用口诀表示为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限内各三角函数值均为正，第二象限内只有正弦值为正，第三象限内只有正切值为正，第四象限内只有余弦值为正． 1. 已知角α的终边过点(sin 30°，－sin 30°)，则sin α的值为( ) A. － B. C. － D. 2. (2025阳江期末)“α是第四象限角”是“<0”的( ) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. (多选)(2025承德期末)已知角θ的终边经过点(－1，)，则下列说法中正确的是( ) A. sin θ＝ B. cos θ＝ C. tan θ＝－ D. θ为第四象限角 4. (2025成都期末)若第二象限角α的终边与单位圆交点的横坐标为－，则tan α＝_____． 5. 已知α为第二象限角，其终边上的一点为P(x，)，且cos α＝x，求实数x的值. 7．2.1 任意角的三角函数(2) 1. 了解有向线段的概念，理解三角函数线的概念． 2. 会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切． 3. 会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的 ... ...
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