三角函数的诱导公式 学案(含答案) 2025-2026学年高一数学苏教版(2019)必修第一册

7．2.3　三角函数的诱导公式(1) 1. 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义，推导三角函数的诱导公式一、二、三、四． 2. 理解并掌握诱导公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简等问题． 活动一 掌握三角函数的诱导公式一、二、三、四 已知任意角α，观察角α的终边绕着原点旋转的过程，在这一过程中，有哪些量会“周而复始”的重复出现？角的终边的位置会“周而复始”吗？三角函数值会“周而复始”吗？ 探究1　终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？为什么？ 探究2　除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系．如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系呢？ 思考1 由公式二，你可以得到三角函数的什么性质？ 探究3　若角α的终边与角β的终边关于y轴对称(如图)，你有什么结论？ 探究4　若角α的终边与角β的终边关于原点对称(如图)，你有什么结论？ 思考2 由公式二、三，你能推导出公式四吗？根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？ 思考3 上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式．想一想，公式一到四的名称和符号有怎样的规律？ 公式一的作用是将角转化为区间[0，2π]上的角，公式二的作用是将负角转化为正角，公式三的作用是将区间上的角转化为区间上的角，公式四的作用是将区间上的角转化为区间上的角． 活动二　利用诱导公式解决给角求值问题　 例1　求值： (1) sin ； (2) cos ； (3) tan (－1 560°). 求值： (1) cos 225°；　　　(2) sin ； (3) sin ； (4) cos (－2 040°). 活动三　利用诱导公式解决给值求值问题　 例2　已知cos (π＋α)＝－，α是第四象限角，求tan α的值． 例3　已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)＋cos (α－105°)的值． 思考4 如何探究已知角与所求角的关系？ 已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求tan 的值． 活动四　利用诱导公式研究三角函数的奇偶性　 例4　判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝1－cos x； (2) g(x)＝x－sin x. 已知f(x)＝x cos x－sin x＋5，f(a)＝4，则f(－a)＝_____． 1. (2025商丘期末)sin 3 720°的值为(　　) A. B. C. － D. － 2. (2025梅州期末)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(1，2)，则cos (－α)的值为(　　) A. － B. C. － D. 3. (多选)(2025惠州期末)下列式子化简中，正确的是(　　) A. sin ＝ B. cos ＝ C. sin (2 024π－α)＝－sin α D. tan (α－2 025π)＝－tan α 4. (2025广州期末)已知角α的终边与单位圆的交点为(，－)，则sin (π＋α)＝_____． 5. 已知cos ＝，求cos －sin2(α－)的值． 7．2.3　三角函数的诱导公式(2) 1．推导出诱导公式五、六，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数． 2. 能运用公式解决基本的三角函数求值、化简和恒等式证明问题． 活动一 掌握三角函数的诱导公式五、公式六 探究1　若角α的终边与角β的终边关于直线y＝x对称(如图)，设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P′. (1) 角α与角β的三角函数值之间有什么关系？ (2) 角－α的终边与角α的终边是否关于直线y＝x对称？ (3) 由(1)，(2)你能发现什么结论？ 探究2　利用公式二和公式五，探求sin (＋α)，cos 的值与α的三角函数值的关系． 探究3　你能推导出tan (＋α)，tan (－α)与tan α之间的关系吗？ 公式五与公式六的作用是实现正弦与余弦的相互转化，同时可以把区间上的角的三角函数转化为锐角的三角函数． 例1　求证：sin (＋α)＝－cos α，cos (＋α)＝sin α. 求证：sin ＝－cos α，cos ... ...