4 数列中的子数列和增减项问题 数列子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共项数列等)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点．一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 题型一 数列的公共项问题 例1 记由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列为{cn}，已知an＝3n－2，bn＝2n，若{cn}为递增数列，且c5＝bm＝at，则m＋t＝_____． [听课记录]_____ _____ _____ (1)解答数列中公共项问题的关键在于观察这些公共项的规律，判断其是否构成等差数列或等比数列． (2)两个等差数列的公共项是等差数列，公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列． (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 题型二 数列的奇偶项问题 例2 (2021·新课标Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 训练2 已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋2n-1(n≥2，n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an－1＋(－1)nlog2(an－1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 题型三 数列的增减项问题 例3 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这(n＋2)个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列，且m≠k≠p)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 解答数列中的增减项问题时，先观察增加或减少以后的数列是等差数列，等比数列，还是局部具有等差或等比特征的数列，然后按照各自的性质进行求解． 训练3 已知数列{bn}为等比数列，正项数列{an}满足4an＝a－a－4，且a1＝2，b1＝1，a4＝b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)若从{an}中去掉与数列{bn}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，设T100＝c1＋c2＋c3＋…＋c100，求T100. 进阶点4 数列中的子数列和增减项问题 例1 352 解析 由已知得c1＝b2＝a2＝4，设cn＝bm＝at，即cn＝2m＝3t－2，则bm＋1＝2m+1＝2(3t－2)，由bm＋1＝3t′－2，得t′＝，因为t′不是正整数，所以bm＋1不是公共项．同理，由bm＋2＝2m+2＝4(3t－2)＝3t′－2，得t′＝4t－2，故cn＋1＝bm＋2＝a4t－2.因为c1＝b2＝a2＝4，所以c2＝b4＝a6，c3＝b6＝a22，c4＝b8＝a86，c5＝b10＝a342，故当n＝5时，m＝10，t＝342，故m＋t＝352. 训练1 解 (1)由Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1.依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)，b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)，解得b1＝2，所以bn＝2n. (2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以cn＝2×4n-1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＝(4n－1). 例2 解 (1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*. (2)因为an＋1＝所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1 ①，a2k＋1＝a2k＋2 ②，a2k＋2 ... ...
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