第三课时 利用导数解决与函数有关的问题 课标要求 1.会利用导数画函数的大致图象（数学抽象、数学运算）. 2.结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题（逻辑推理、数学运算）. 3.利用导数解决生活中的实际问题（数学建模、数学运算）. 知识点一｜利用导数画函数的大致图象 【例1】 已知f（x）＝（a－x＋1）ex，其中a＞0，试画出函数f（x）的大致图象. 解：∵f（x）＝（a－x＋1）ex，∴f'（x）＝（a－x）ex， 则当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）在（－∞，a）上单调递增； 当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）在（a，＋∞）上单调递减， ∴f（x）在x＝a处取得最大值f（a）＝ea，且当x→＋∞时，f（x）→－∞，当x→－∞时，f（x）→0， 则f（x）＝（a－x＋1）ex的大致图象如图所示. 【规律方法】 利用导数画函数大致图象的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）利用导数确定函数的单调性与极值； （3）确定f（x）的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势； （4）画出f（x）的大致图象. 训练1 试画出函数f（x）＝的大致图象. 解：∵f（x）＝，∴f'（x）＝（x＞0）， 令g（x）＝1＋－ln x，则g'（x）＝－－＝－＜0， ∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数， 又g（e）＝＞0，g（e2）＝1＋－ln e2＝－1＜0，∴存在x0∈（e，e2），使得g（x0）＝0， ∴当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（x0，＋∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 且当x→0时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→0，故f（x）的大致图象如图所示. 知识点二｜利用导数研究函数的零点与方程的根 【例2】 判断函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）－x的零点个数. 解：由f（x）＝0，得x2－2x＋1＝. 令g（x）＝，则函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）－x的零点等价于函数y＝x2－2x＋1与y＝g（x）图象的交点， g'（x）＝，令g'（x）＞0，得x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1， 所以g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 所以g（x）max＝g（1）＝， 又g（0）＝0， 作出函数y＝x2－2x＋1＝（x－1）2与y＝g（x）的图象，如图所示，数形结合可得函数f（x）有2个零点. 【规律方法】 利用导数确定函数零点或方程根的个数的方法 （1）数形结合：将函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点，利用导数画出函数的大致图象，进而得到函数零点的个数； （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值的符号，进而判断函数在该区间上的零点个数. 训练2 已知f（x）＝ln x. （1）求的极值； 解：令g（x）＝＝，且x∈（0，＋∞），则g'（x）＝， 当0＜x＜e时g'（x）＞0，当x＞e时g'（x）＜0， 所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减， 故g（x）＝的极大值为g（e）＝，无极小值. （2）若函数y＝f（x）－ax存在两个零点，求a的取值范围. 解：由题设，a＝有两个根，即y＝a与g（x）＝有两个交点， 由（1）知：g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减， 在（0，1）上g（x）＜0，在（1，＋∞）上g（x）＞0，且当x趋向正无穷时g（x）趋向于0， 综上，只需0＜a＜g（e）＝，即a∈. 故a的取值范围为（0，）. 知识点三｜生活中的优化问题 【例3】 某企业在2025年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且w（1）＝57，w（10）＝120.预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入G（x）（万元）满足G（x）＝－＋＋＋4. （1）写出该企业2025年生产这种产品的利润F（x）（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； 解：设w（x）＝kx＋b， 由可得解得 所以w ... ...
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