第二课时 函数单调性的应用 课标要求 1.能求简单的含参的函数的单调区间（数学运算）. 2.进一步理解函数的导数和其单调性的关系，利用单调性比较大小、解不等式（数学抽象、数学运算）. 3.能根据函数的单调性求参数的取值范围（数学运算）. 知识点一｜含参数函数的单调性 【例1】 讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ax＋1－＝. ①当a＝0时， f'（x）＝， 由f'（x）＞0，得x＞1， 由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. ②当a＞0时，f'（x）＝， ∵a＞0，∴＞0. 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增. 【规律方法】 讨论含参函数的单调性的关键点 （1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结； （2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0. 训练1 设函数f（x）＝ex－ax－2（a∈R），求f（x）的单调区间. 解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a. 若a≤0，则f'（x）＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数. 若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0； 当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a）， 单调递增区间为（ln a，＋∞）. 知识点二｜根据函数的单调性求参数 【例2】 已知函数f（x）＝x3－ax－1为R上的增函数，求实数a的取值范围. 解：由已知得f'（x）＝3x2－a， 因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数， 所以f'（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0. 即a的取值范围为（－∞，0]. 变式 （1）若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围； 解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立，所以即 所以a≥3. 即a的取值范围是[3，＋∞）. （2）若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值. 解：f'（x）＝3x2－a，①当a≤0时，f'（x）≥0， 所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意. ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f'（x）＜0. 所以f（x）在（－，）上单调递减， 所以f（x）的单调递减区间为（－，）， 所以＝1，即a＝3. 【规律方法】 由函数的单调性求参数的技巧 （1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意； （2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：①转化为单调函数求参数，再求其补集；②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数. 训练2 （1）若函数f（x）＝x3－2ax2－（a－2）x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ D ） A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1 C.a＞2或a＜－1 D.a＞1或a＜－2 解析：若函数f（x）有3个单调区间，则f'（x）＝4x2－4ax－（a－2）有2个变号零点，故Δ＝16a2＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2. （2）若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（ B ） A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞） B.（－3，－1）∪（1，3） C.（－2 ... ...
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