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课件网) 培优课 立体几何中的综合问题 立体几何中的翻折、最值（范围）和探究性问题是各类考试考查的热点内容，常见于解答题中，其题目特点是灵活性较强，需要相对丰富的空间想象能力及计算能力，对所研究几何体进行深入的剖析与推理，考查学生的综合能力，培养学生的思维能力. 重点解读 立体几何中的翻折问题 一 立体几何中的最值（范围）问题 二 与空间角、距离有关的探究性问题 三 课时作业 四 目录 一 PART 立体几何中的翻折问题 【例1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D，E分别为 AC，AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△PDE，得到四棱锥P-BCDE， M为PB的中点. （1）证明：EM∥平面PDC； 解：证明：取PC的中点N，连接MN，ND，如图， 因为M是PB的中点，所以MN∥BC且MN＝ BC， 又D，E分别是AC，AB的中点，所以DE∥BC且DE ＝ BC， 所以MN DE，从而DEMN是平行四边形，所以 DN∥ME， 又因为ME 平面PCD，DN 平面PCD， 所以ME∥平面PCD. （2）若PB＝2 ，求平面PBC与平面PEC夹角的余弦值. 解：由已知BD＝ ＝2 ，PD2＋BD2＝22＋20＝24＝PB2， 所以PD⊥BD，又PD⊥DE，DE∩BD＝D，DE，BD 平面BCDE， 所以PD⊥平面BCDE， 又因为DE⊥DC， 以D为原点，DE，DC，DP所在直线分别为x，y， z轴建立空间直角坐标系，如图， 则D（0，0，0），E（2，0，0），C（0，2，0），B（4，2，0），P （0，0，2）， ＝（0，2，－2）， ＝（4，2，－2）， ＝（2，0，－2）， 设平面PBC的一个法向量是m＝（x，y，z）， 则 取y＝1，得m＝（0，1，1）， 设平面PEC的一个法向量是n＝（a，b，c）， 则 取c＝1，得n＝（1，1，1）， cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ ， 所以平面PBC与平面PEC夹角的余弦值为 . 【规律方法】 翻折问题的解题策略 （1）确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图 形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折 痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变，而位于“折痕”两侧的点、 线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处 理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决； （2）确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变 化的点.因为这些点的位置移动，会带动与其相关的点、线、面的关系变 化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、 线、面的位置，进而进行有关的证明与计算. 训练1 如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，E为AD的中 点，现将四边形EBCD沿BE折起至四边形EBHG的位置，使得∠AEG＝ 90°.若点F满足 ＝λ ，当EF∥平面AGH时，实数λ的值 为 . 解析：令菱形ABCD的边长为2，由题意可知折起后AE⊥GE，AE⊥BE，GE⊥BE. 以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A（1，0，0），B（0， ，0），E（0，0，0），G（0，0，1），H（0， ，2），所以 ＝（－1，0，0）， ＝（－1， ，0）， ＝（－1，0，1）， ＝（－1， ，2）. 设平面AGH的法向量为n＝（x，y，z），则 即 取x＝1，则y＝－ ，z＝1，所以n＝ 是平面AGH的一个法向量.由题知 ＝λ ＝（－λ， λ，0），所以 ＝ － ＝（－λ， λ，0）－（－1，0，0）＝（1－λ， λ，0）.因为EF∥平面AGH，所以n· ＝0，所以1－λ－ × λ＝0，所以λ＝ . 二 PART 立体几何中的最值（范围）问题 【例2】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径， AE＝AD＝4 ，△ABC是底面圆的内接正三角形，且AB＝6，P是线段 DO上一点. （1）若DP＝ PO，求三棱锥P-ABC的体积； 解：在Rt△DOA中，AD＝4 ，AO＝2 ， ∴DO＝ ＝6， ∵DP＝ PO，∴PO＝ DO＝4， VP-ABC＝ ·S ... ...
