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课件网) 章末整合提升 体系构建 01 素养提升 02 目录 01 PART 体系构建 02 PART 素养提升 一、空间向量的概念及运算 空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是 相同的，可以通过类比进行学习. 【例1】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 ＝a， ＝b， ＝c，M，P分别是AA1，C1D1的中点，则 ＝（ C ） A. a＋ b＋ c B. a＋ c C. a＋ b＋c D. a＋ b＋ c 解析：如图，由题意，M，P分别是AA1，C1D1的中点， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）＝ a＋ b＋c.故选C. C （2）已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是 ，则 向量a－b－c和b的夹角为（ C ） A. B. C. D. C 解析：由题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝ ， ∴｜a－b－c｜＝ ＝ ＝ ，（a－b－c）·b＝a·b－b2 －b·c＝－1.设向量a－b－c和b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ＝ . （3）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满 足 ＝ ＋ ＋ ，则点M （填“∈”或“ ”）平面ABC. 解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，∴M，A，B，C四点共面，即点M∈ 平面ABC. ∈ 【反思感悟】 1. 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而可求 两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问 题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问 题转化为向量数量积的计算问题. 2. 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面 ＝λ 且同过点P ＝x ＋y 对空间任一点O， ＝ ＋ t 对空间任一点O， ＝ ＋x ＋ y 对空间任一点O， ＝x ＋ （1－x） 对空间任一点O， ＝x ＋y ＋ （1－x－y） 二、利用空间向量证明线面位置关系 用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、 线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；证明线面位置关系的基 本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和 垂直进行证明. 【例2】如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD， M，N分别为AB，PC的中点，求证： （1）MN∥平面PAD； 证明：由题意得AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A 为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P（0，0，a），A（0， 0，0），D（0，a，0），C（b，a，0），B（b，0，0）， 因为M，N分别为AB，PC的中点， 所以M（ ，0，0），N（ ， ， ）. 所以 ＝（0， ， ）， ＝（0，0，a）， ＝（0，a，0）. 所以 ＝ ＋ ，所以 ， ， 共面， 又因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD. （2）平面PMC⊥平面PDC. 证明：由（1）可知 ＝（b，a，－a）， ＝（ ，0，－a）， ＝（0，a，－a）. 设平面PMC的法向量为n1＝（x1，y1，z1）， 则 所以 令z1＝b，则n1＝（2a，－b，b）. 设平面PDC的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 则 所以 令z2＝1，则n2＝（0，1，1）. 因为n1·n2＝0－b＋b＝0， 所以n1⊥n2. 所以平面PMC⊥平面PDC. 【反思感悟】 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 三、利用空间向量求距离 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的 平面的距离问题. 【例3】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点. （1）求点N到直线AB的距离； 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0）， B（2 ，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1 （0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）. ＝（0，4 ... ...
