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课件网) 第二课时 共线向量与共面向量 1. 理解共线向量、共面向量的定义（数学抽象）. 2. 掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件（逻辑推理）. 3. 会证明空间三点共线、四点共面（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 情境导入 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成（如图所示）.以上三个位移是同一个平面内的向量吗？ 知识点一 共线向量 01 知识点二 共面向量 02 提能点 共线、共面向量的应用 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 共线向量 问题1 （1）两个平面向量a，b（b≠0）共线的充要条件是什么？ 提示：对任意两个平面向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数 λ，使a＝λb. （2）你认为两个平面向量a，b（b≠0）共线的充要条件适用于空间向量 吗？为什么？ 提示：由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间 向量. 【知识梳理】 1. 两个空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ， 使 . 提醒：（1）0与空间任意向量a都是共线向量；（2）向量共线的充要 条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一；（3）向量a，b共线 时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上. a＝λb 2. 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一 点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得 ＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 ，直线l 上任意一点都可以由直线l上的一点和它的 表示. 方向向量 方向向量 【例1】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是AC，BF的中点，则 与 是否共线？ 解：法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都 是平行四边形， ∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ . ① 又∵ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋ － － ， ② ①＋②得2 ＝ ， ∴ ∥ ，即 与 共线. 法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平 行四边形， ∴ ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ）＝ （ － ）＝ （ － ）＝ . ∴ ∥ ，即 与 共线. 【规律方法】 判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两个向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成 立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简 或用同一组向量表示. 训练1 （1）设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 ＋ ＝ ＋ ，则四边形ABCD是（ A ） A. 平行四边形 B. 空间四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 解析：∵ ＋ ＝ ＋ ，∴ ＝ .∴ ∥ 且｜ ｜＝｜ ｜.∴四边形ABCD为平行四边形. A （2）已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N 分别是BC与CD边上的点，若 ＝λ ， ＝λ ， ＝μ ， ＝μ ，则向量 与 满足的关系为（ B ） A. ＝ B. ∥ C. ｜ ｜＝｜ ｜ D. ｜ ｜≠｜ ｜ 解析：由 ＝λ ， ＝λ ，得 ＝ － ＝λ（ － ） ＝λ ，所以 ， 共线，同理，由 ＝μ ， ＝μ ，得 ＝μ ，所以 ， 共线，所以 ， 共线，即 ∥ .故 选B. B 02 PART 知识点二 共面向量 问题2 （1）空间任意两个向量是共面向量，那么空间任意三个向量是否 共面？ 提示：不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. （2）对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向 量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系 时，p＝xa＋yb？ 提示：如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与 向量a，b共面时，p＝xa＋yb. 【知识梳理 ... ...
