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课件网) 1.1.2 空间向量的数量积运算 1. 了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2. 了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）. 3. 能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 情境导入 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝ F·S＝｜F｜｜S｜ cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我 们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的 呢？这就是这节课我们要学习的内容. 知识点一 空间向量的夹角 01 知识点二 空间向量的数量积 02 知识点三 投影向量 03 提能点 空间向量数量积的应用 04 目录 课时作业 05 01 PART 知识点一 空间向量的夹角 问题1 （1）回忆一下，两个平面向量a和b的夹角的定义是什么？ 提示：已知两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作 ＝a， ＝ b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞. （2）两个平面向量夹角的定义能推广到空间中吗？为什么？ 提示：能.因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的 向量. 【知识梳理】 定义 范围 向量 垂直 如果＜a，b＞＝ ，那么向量a，b互相垂直，记 作 ∠AOB ＜a，b＞ [0，π] a⊥b 【例1】（1）＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a， b＞与＜－a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？ 解：＜a，b＞＝＜b，a＞，＜－a，b＞＝＜a，－b＞，＜－a，b＞ ＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞. （2）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量 分别与向量 ， ， ， ， 的夹角. 解：连接BD（图略）， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD， ∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝45°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝135°， ＜ ， ＞＝∠D'AC＝60°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°， ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°. 【规律方法】 对两个空间向量夹角的理解 （1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错； （2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向 时，夹角为π. 训练1 （1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b ＞＝0”的（ B ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当 a∥b时，有＜a，b＞＝0或＜a，b＞＝π，不能得到＜a，b＞＝0，充 分性不成立；＜a，b＞＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立， 故“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B. B （2）在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于 ； 与 的 夹角等于 . 解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°；＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝ 60°. 120° 60° 02 PART 知识点二 空间向量的数量积 问题2 平面向量的数量积的定义是什么？平面向量的数量积运算满足哪 些运算律？能将其推广到空间中吗？ 提示：已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞叫做a，b 的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞；平面向量的 数量积运算满足：（1）数乘向量与向量数量积的结合律：（λa）·b＝λ （a·b），λ∈R；（2）交换律：a·b＝b·a；（3）分配律：（a＋ b）·c＝a·c＋b·c；能. 【知识梳理】 1. 定义：已知两个非零向量a，b，则 叫 做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ . 2. 性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b ； （2）a·a＝ ＝ ＝a2； （3）a·e＝｜a｜ cos ＜a，e＞（其中e为单位向量）； （4）若a，b为非 ... ...
