(
课件网) 1.2 空间向量基本定理 1. 理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用（数学抽象、逻辑推理）. 2. 会用基底表示空间向量（数学抽象）. 3. 初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？这就是这节课我们要学习的内容. 情境导入 知识点一 空间向量基本定理 01 知识点二 用基底表示空间向量 02 提能点 空间向量基本定理的应用 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 空间向量基本定理 ｜问题 （1）用两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？至少需要 几个向量来表示？ 提示：不能；三个. （2）任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ 提示：三个向量共面时不可以. （3）如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p能否用i，j，k表示呢？ 提示：如图，设 为 在i，j所确定的平面上的投影向 量，则 ＝ ＋ .又向量 ，k共线，因此存在唯 一的实数z，使得 ＝zk，从而 ＝ ＋zk.在i，j确 定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序 实数对（x，y），使得 ＝xi＋yj.从而 ＝ ＋zk ＝xi＋yj＋zk. 【知识梳理】 1. 空间向量基本定理 条件 三个 的向量a，b，c和 空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝ 2. 基底：如果三个向量a，b，c ，那么{a，b，c}叫做空间 的一个基底，a，b，c都叫做 . 提醒：（1）基底中不能有零向量；（2）空间任意三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一 表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. 不共面 任意一个 xa＋yb＋zc 不共面 基向量 3. 单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都 为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4. 正交分解 把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行正 交分解. 垂直 1 垂直 【例1】（1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） ①只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.（ × ） ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量. （ √ ） ③已知向量 ， ， 不能构成空间中的一个基底，则O，A，B， C四点共面.（ √ ） × √ √ （2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 ＝e1＋2e2－e3， ＝ －3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{ ， ， }能否构成空 间的一个基底？ 解：假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y， 使 ＝x ＋y 成立. ∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y） e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴ 此方程组无解， 即不存在实数x，y，使 ＝x ＋y 成立. ∴ ， ， 不共面. 故{ ， ， }能构成空间的一个基底. 【规律方法】 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是 否共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几 何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基 础上构造其他向量进行相关的判断. 训练1 （1）〔多选〕设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一个基底，给出下列向量 ... ...
