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课件网) 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 1. 掌握空间向量运算的坐标表示（数学运算）. 2. 会判断两个向量是否共线或垂直（逻辑推理、数学运算）. 3. 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，能否可以探究出空间向量运算的坐标表示呢？ 情境导入 知识点一 空间向量运算的坐标表示 01 知识点二 空间向量平行、垂直的坐标表示 02 知识点三 空间夹角、距离的计算 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 空间向量运算的坐标表示 问题1 （1）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2， a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b 的坐标表示吗？ 提示：若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）， λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. （2）你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？ 提示：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k， b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a·b＝（a1i＋a2j＋a3k）·（b1i＋b2j＋b3k）. 利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，得 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 【知识梳理】 1. 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 λa＝ （λ∈R） 数量积 a·b＝ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） （a1－b1，a2－b2，a3－b3） （λa1，λa2，λa3） a1b1＋a2b2＋a3b3 2. 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 ＝ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 坐标 起点坐标. （x2－x1，y2－ y1，z2－z1） 减去 【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1， 3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝ ，q＝ ，求下列 各式的值： （1）p＋2q； 解：由于A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2， －1，－2）， 所以p＝ ＝（2，1，3），q＝ ＝（2，0，－6）. p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）. （2）3p－q； 解：3p－q＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－ 6）＝（4，3，15）. （3）（p－q）·（p＋q）. 解：（p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2＝（22＋12＋32）－ [22＋02＋（－6）2]＝－26. 【规律方法】 空间向量坐标运算的规律及注意点 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标 确定； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式 计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解 方程（组），求出其坐标. 训练1 （1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝ 2a，则点B的坐标为（ D ） A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24） C. （－6，8，24） D. （－5，6，24） 解析：∵a＝（－3，4，12），且 ＝2a，∴ ＝（－6，8， 24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0）， ＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－ 5，6，24）.故选D. D （2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1， 2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件 ＝ （ － ） 的点P的坐标为 . 解析：法一（直接法） 因为 ＝ （ － ），所以 － ＝ ， ＝ ＋ （ － ）＝ ... ...
