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课件网) 第二课时 空间中直线、平面的平行 1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系（数学抽象、逻辑推理）. 2. 能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 情境导入 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行.旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？旗杆底部平台所在平面的法向量和地面所在平面的法向量有什么关系？ 知识点一 直线与直线平行 01 知识点二 直线和平面平行 02 知识点三 平面与平面平行 03 提能点 平行关系中的探索性问题 04 目录 课时作业 05 01 PART 知识点一 直线与直线平行 ｜问题1 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量有什么关 系？ 提示：平行. 【知识梳理】 线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2 λ∈R，使得 . u1∥u2 u1＝λu2 【例1】（1）若直线l1和l2的方向向量分别是a＝（1，－1，2），b＝ （－2，2，－4），则（ ） A. l1∥l2 B. l1与l2相交 C. l1与l2重合 D. l1∥l2或l1与l2重合 解析：∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合. √ （2）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面 ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝ DB，DA＝DP＝1， CD＝2.求证：MN∥AP. 证明：法一 由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如 图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0）， A（1，0，0），P（0，0，1），N（0， ， ），M （ ， ，0）， 所以 ＝（－1，0，1）， ＝（－ ，0， ）， 所以 ＝ ，又M AP，故MN∥AP. 法二 由题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ ，又 M AP，所以MN∥AP. 【规律方法】 证明两直线平行的两种思路 训练1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1 的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 证明：以点D为坐标原点，分别以{ ， ， }为 正交基底建立如图所示空间直角坐标系，不妨设正方体的 棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0， ），C1（0， 1，1），F（1，1， ）， ∴ ＝（－1，0， ）， ＝（－1，0， ）， ＝ （0，1， ）， ＝（0，1， ）， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ ∥ ， ∥ ， 又∵F AE，F EC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. 02 PART 知识点二 直线和平面平行 问题2 如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的 法向量，u与n有什么关系？ 提示：垂直. 【知识梳理】 线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l∥α u n u·n＝0. 提醒：特别要强调直线在平面外. ⊥ 【例2】（1）（2025·济源月考）已知直线l的一个方向向量为u＝（2， 0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置 关系为 ； 解析：∵u·v＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0， ∴u⊥v，∴l∥α或l α. l∥α或l α （2）（链接教材P31练习3题）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正 方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明： PA∥平面EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点， 设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D（0，0，0），A（a，0，0），P（0，0， a），E（0， ， ），B（a，a，0）. 法一 设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z）， 又 ＝（0， ， ）， ＝（a， ，－ ）， 则有 即 即 所以n· ＝（1，－1，1）·（a，0，－a）＝a－a＝0. 所以n⊥ . 又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB. 令z＝1，则 所 ... ...
