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课件网) 第三课时 空间中直线、平面的垂直 1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（数学抽象、逻辑推理）. 2. 能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 情境导入 观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直.那么如何用向量来 表示二者的关系呢？ 知识点一 直线与直线垂直 01 知识点二 直线与平面垂直 02 知识点三 平面与平面垂直 03 提能点 垂直关系中的探索性问题 04 目录 课时作业 05 01 PART 知识点一 直线与直线垂直 问题1 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直 时，u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直. 【知识梳理】 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2 . 提醒：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方 向向量相互垂直. u1⊥u2 u1·u2＝0 【例1】（链接教材P33练习2题）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1.求证：AB1⊥MN. 证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1交A1B1于点O1， 连接OC. 以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所 在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间 直角坐标系Oxyz. 由已知得A（－ ，0，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），N（0， ， ），B1（ ，0，1）， ∵M为BC的中点，∴M（ ， ，0）. ∴ ＝（－ ， ， ）， ＝（1，0，1）， ∴ · ＝－ ＋0＋ ＝0. ∴ ⊥ ， ∴AB1⊥MN. 【规律方法】 证明两直线垂直的方法及步骤 （1）坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量 →证明向量垂直→得到两直线垂直； （2）基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直. 训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB. 证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是PB与底面ABCD 所成的角，所以∠PBA＝30°， 所以PA＝ a. 所以A（0，0，0），B（2a，0，0），D（0，a， 0），P（0，0， a）. 所以 ＝（0，a，0）， ＝（2a，0，－ a）. 因为 · ＝（0，a，0）·（2a，0，－ a）＝0， 所以PB⊥AD. 又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，AD， AE 平面ADE，所以PB⊥平面ADE，所以PB⊥DE. 02 PART 知识点二 直线与平面垂直 问题2 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂 直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行（共线）. 【知识梳理】 线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 l⊥α λ∈R，使得 . u∥n u＝λn 【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 证明：法一 设 ＝a， ＝c， ＝b， 则 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ）＝ （－a＋b＋c）. 因为 ＝ ＋ ＝a＋b， 所以 · ＝ （－a＋b＋c）·（a＋b）＝ （b2－a2＋c·a＋c·b） ＝ （｜b｜2－｜a｜2＋0＋0）＝0. 所以 ⊥ ，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 法二 设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）. 所以 ＝（－1，－1，1）， ＝（0，2，2）， ＝（－2，2，0）. 所以 · ＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2 ＋1×2＝0 ... ...
