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课件网) 第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示 1. 能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）. 2. 理解直线的方向向量与平面的法向量（直观想象）. 3. 会求直线的方向向量与平面的法向量（数学运算）. 课标要求 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 情境导入 知识点一 空间中点、直线的向量表示 01 知识点二 空间中平面的向量表示 02 提能点 求平面的法向量 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 空间中点、直线的向量表示 问题1 （1）在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可 以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量. （2）我们知道，在平面中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直 线l.那么在空间中，若给定一个点A和一个方向能唯一确定一条直线l 吗？如何用向量表示直线l？ 提示：能.如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直 线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是 存在实数t，使得 ＝ta，即 ＝t . 如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ta， ① 将 ＝a代入①式，得 ＝ ＋t . ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直 线上一点及直线的方向向量唯一确定. 【知识梳理】 1. 点的位置向量 如图，在空间中，取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可 以用向量 来表示，向量 称为点P的 . 基点 位置向量 2. 空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，取定空间中的任意一 点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ta ①，将 ＝a代入①式，得 ＝ ②. ①式和②式都称为空间直线的向量表达式. ＋t 3. 空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定. 提醒：（1）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下 两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.（2）与直 线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无 数个. 方向向量 【例1】（1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过 A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y＋z＝（ D ） A. 0 B. 1 C. D. 3 解析：∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴ ＝（－1，2－y，z－ 3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设 ＝km.∴－ 1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－ ，y＝z＝ .∴y＋z＝3. D （2）〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则（ AC ） A. 以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1） B. 以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0） C. 直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D. 直线B1D的一个方向向量为（1，1，1） AC 解析：当以A为基点时，点C1的位置向量为 ＝（1，1，1），∴A正 确；当以B为基点时，点D的位置向量为 ＝（－1，1，0），∴B不正 确；连接AD1，∵AD1∥BC1， ＝（0，1，1），∴C正确；∵ ＝ （－1，1，－1），∴直线B1D的一个方向向量为（－1，1，－1），又 （－1，1，－1）与（1，1，1）不共线，∴D不正确. 【规律方法】 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为 起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 训练1 （1）〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上， 则下列可作为直线l方向向量的是（ AB ... ...
