2026届高三第一学期质量检测 数学参考答案及评分标准 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1—4.BBDA 5—8.CBCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.BD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，。 12.4 13.[-3,0] 四、解答题：本题共5小题，。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)设{an} 的首项为a , 公差为d, 则 a =a +d=4,S =6a +15d=42,……………………………… 2 分 解得，a =2,d=2. ……………… ………………………………………4 分 所以，an=a +(n-1)d=2n.…… ……… 6 分 (2)由(1)知，azn-1=2(2n-1),a2n+1=2(2n+1).………………… 7分 所以 ………………………………10分 所以 16.解：以A 为原点，直线AB,AD,AA 所在的直线分 别为x 轴 、y轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0),B (2,0, 4),D (0,2,4). 设 Q(4,m,0),P(0,y,z), (1)所以AB =(2,0,4),PQ=(4,m—y, 一z). 因为AB ⊥PQ, 所以，AB ·PQ=0, 即8—4z=0, 高三数学试题答案 第1页(共5页) 解得z=2. 所以点P 是棱DD 的中点. ………………………………………………………6分 (2)因为 所以z=1. ………………………………… ……………………………………8 分 所以 所以 …………………………………………………………10分 又因为BD= (一4,4,0), 设平面PBD 的一个法向量n =(a,b,c), 则 ,即 ,令b=2, 则 c=1,a=2. 所以n,=(2,2,1),…………………………………………………………13 分 又平面ABD 的一个法向量为n =(0,0,1), 设平面PBD 与平面ABD 的夹角为θ,则 .……… ……………………………15分 17.解：(1)连接AP, 则 PA=PQ, 所以PC+PQ=PC+PA=4>AC 2 分 由椭圆定义知，点P 的轨迹为以A、C为焦点的椭圆，且c=1,a=2, 3 分 所以b =a —c =4-1=3.……………………………………………………………4 分 所以T 的方程为： …………………………………………………………5分 (2)(i) 四边形BDEF 为平行四边形，且O 为其中心. … … 7 分 (ii) 显然直线 BD、EF的斜率不为0,设直线 EF 方程为x=my+1, E(x1,y1),F(x2,y2). 联立T 的方程 ,消x 得： (3m +4)y +6my-9=0, 显然△>0, 高三数学试题答案 第2页(共5页) 且 . ……………………8分 , … … … … … … … 1 0 分 令t=√m +1, 则t≥1, 且 ……………… ………………12分 令 ,显然 在[1,十∞∞]时单调递减， 所以f(x)mx=f(1)=6.…………………………………………… … …14 分 即 SBDEF的最大值为6,此时直线BD 的方程为x=-1, 直线EF 的方程为x=1. … 15分 18.解：(1)解法一 三个小球放入四个盒子，总样本点个数为4 =64. 甲盒中恰有0个小球，即三个小球放入乙丙丁三盒，共有3 =27种放法. 所以 甲盒中恰有1个小球.即先从三个小球中选一个放入甲盒，其余2个小球放入乙丙丁三 盒中，共有C ×3 =27 种放法. ……………………………………………………………………2分 甲盒中恰有2个小球，即先从三个小球中选2个放入甲盒，剩下的1个小球放入乙丙丁 三盒中，共有C ×3=9 种放法. 所以 ……………………………………………………………………3分 甲盒中恰有3个小球，即三个小球全部放入甲盒，有1种放法， …………………………………………………………4分 所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 高三数学试题答案 第3页(共5页) 故 解法二 由题意知 ……………………………………………………2分 所以，X的分布列为 ………………4分 …………………………………………………………………6分 (2)(i) ... ...
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