空间向量的数量积运算

1.1.2　空间向量的数量积运算 课标要求 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 情境导入 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F·S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？这就是这节课我们要学习的内容. 知识点一｜空间向量的夹角 问题1　（1）回忆一下，两个平面向量a和b的夹角的定义是什么？ 提示：已知两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞. （2）两个平面向量夹角的定义能推广到空间中吗？为什么？ 提示：能.因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量. 【知识梳理】 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　∠AOB　叫做向量a，b的夹角，记作　＜a，b＞　 范围 　[0，π]　 向量垂直 如果＜a，b＞＝　　，那么向量a，b互相垂直，记作　a⊥b　 【例1】（1）＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a，b＞与＜－a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？ 解：＜a，b＞＝＜b，a＞，＜－a，b＞＝＜a，－b＞，＜－a，b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞. （2）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角. 解：连接BD（图略）， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以＜，＞＝＜，＞＝45°， ＜，＞＝180°－＜，＞＝135°， ＜，＞＝∠D'AC＝60°， ＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°， ＜，＞＝＜，＞＝90°. 【规律方法】 对两个空间向量夹角的理解 （1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错； （2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π. 训练1　（1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的（　B　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有＜a，b＞＝0或＜a，b＞＝π，不能得到＜a，b＞＝0，充分性不成立；＜a，b＞＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B. （2）在正四面体ABCD中，与的夹角等于120°；与的夹角等于60°. 解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°；＜，＞＝＜，＞＝60°. 知识点二｜空间向量的数量积 问题2　平面向量的数量积的定义是什么？平面向量的数量积运算满足哪些运算律？能将其推广到空间中吗？ 提示：已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞；平面向量的数量积运算满足：（1）数乘向量与向量数量积的结合律：（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R；（2）交换律：a·b＝b·a；（3）分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c；能. 【知识梳理】 1.定义：已知两个非零向量a，b，则　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　. 2.性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b 　a·b＝0　； （2）a·a＝　｜a｜｜a｜cos＜a，a＞　＝　｜a｜2　＝a2； （3）a·e＝｜a｜cos＜a，e＞（其中e为单位向量）； （4）若a，b为非零向量，则cos＜a，b＞＝； （5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 3.运算律：（1）（λa）·b＝　λ（a·b）　，λ ... ...