空间向量基本定理

1.2　空间向量基本定理 课标要求 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用基底表示空间向量（数学抽象）. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法（数学运算、逻辑推理）. 知识点一｜空间向量基本定理 问题　（1）用两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？至少需要几个向量来表示？ （2）任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ （3）如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？ 【知识梳理】 1.空间向量基本定理 条件 三个　　　　的向量a，b，c和　　　　空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　　　 2.基底：如果三个向量a，b，c　　　　，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做　　　　. 　　提醒：（1）基底中不能有零向量；（2）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. 3.单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两　　　　，且长度都为　　　　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.正交分解 把一个空间向量分解为三个两两　　　　的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【例1】　（1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） ①只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.（　　） ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.（　　） ③已知向量，，不能构成空间中的一个基底，则O，A，B，C四点共面.（　　） （2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否构成空间的一个基底？ 【规律方法】 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 训练1　（1）〔多选〕设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以构成空间的一个基底的向量组是（　　） A.{a，b，x} B.{x，y，z} C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c} （2）已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，p＝a－2b＋3c，若p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，则x＋y＋z＝　　　　. 知识点二｜用基底表示空间向量 【例2】　如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 变式　若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 【规律方法】 用基底表示向量的步骤 训练2　（1）如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则（　　） A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c （2）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　　　. 提能点｜空间向量基本定理的应用 角度1　证明空间位置关系 【例3】　（链接教材P13例2、例3（1））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明： （1）EF∥平面PAD； （2）EF⊥平面PCD. 【规律方法】 用向量方法证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行； （2）把要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线 ... ...