空间向量运算的坐标表示

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课标要求 1.掌握空间向量运算的坐标表示（数学运算）. 2.会判断两个向量是否共线或垂直（逻辑推理、数学运算）. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）. 　　 知识点一｜空间向量运算的坐标表示 问题1　（1）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b的坐标表示吗？ （2）你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？ 【知识梳理】 1.设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝　　　　　 减法 a－b＝　　　　　　 数乘 λa＝　　　　　　（λ∈R） 数量积 a·b＝　　　　　 2.设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝　　　　　　　　　.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标　　　　起点坐标. 【例1】　 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝，q＝，求下列各式的值： （1）p＋2q； （2）3p－q； （3）（p－q）·（p＋q）. 【规律方法】 空间向量坐标运算的规律及注意点 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解方程（组），求出其坐标. 训练1　（1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（　　） A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24） C.（－6，8，24） D.（－5，6，24） （2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件＝（－）的点P的坐标为　　　　. 知识点二｜空间向量平行、垂直的坐标表示 问题2　类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b的坐标表示吗？ 【知识梳理】 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有： （1）平行关系：当b≠0时，a∥b a＝λb 　　　　，　　　　，　　　　（λ∈R）； （2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 　　　　　　. 　　提醒：（1）要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb（b≠0）；（2）当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝. 【例2】　（链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH； （2）A1G⊥平面EFD. 【规律方法】 向量平行、垂直的应用 （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明. 训练2　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝（　　） A.1　　　B. C.　　　D. （2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE. 知识点三｜空间夹角、距离的计算 问题3　类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示推导出空间两点的距离公式吗？ 【知识梳理】 1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），cos＜a，b＞＝＝　　　　　　. 2.空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜｜＝　　　　　　. 　　提醒：（ ... ...