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课件网) 第五章 5.2 等差数列 5.2.2 等差数列的前n项和 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列前n项和的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题. 3.能在具体情境中发现等差关系,并能建立相应数学模型,解决实际问题. 学习目标 上节课我们学习了等差数列的前n项和公式,以及等差数列的前n项和公式的函数特征,那么等差数列的前n项和还具有哪些独特的性质呢 这一节课我们继续研究等差数列的前n项和的性质. 引入 课时精练 一、等差数列中前n项和的最值问题 二、等差数列中的片段和问题 三、等差数列前n项和的实际应用 课堂达标 内容索引 等差数列中前n项和的最值问题 一 探究1 对于等差数列{an}而言,若a1<0,d>0,其前n项和Sn有最大值还是最小值 若a1>0,d<0呢 提示 若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值. 探究2 当公差d≠0时,Sn是关于n的二次函数,能否借助二次函数的性质求Sn的最值,为什么 提示 可以,但需注意自变量n的取值范围. 知识梳理 最大 最小 最小 最大 (链接教材P25例3)在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,则数列的前多少项之和最大 并求此最大值. 例1 即S13最大,由题意及等差数列的性质可得d=-2, 可求得最大值为169. 法二 ∵S17=S9, 解得d=-2. 思维升华 思维升华 已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; 训练1 由a1=9,a4+a7=0, 得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2, ∴an=a1+(n-1)·d=11-2n(n∈N+). (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值 法一 由(1)知,a1=9,d=-2, 等差数列中的片段和问题 二 等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,那么数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…(k∈N+)是等差数列,其公差等于_____. 知识梳理 k2d 温馨提示 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110. 例2 法一 ∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,设公差为d, 思维升华 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a1,d,再求所求,是基本解法,有时运算量大些. (2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法. 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m. 训练2 法一 在等差数列中, 等差数列前n项和的实际应用 三 探究4 如何构造等差数列模型 提示 在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决.若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要注意首项、项数等问题. (链接教材P26例4)(1)中国载人航天工程发射的第二十艘飞船,简称“神二十”,于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神二十”的长征二号F遥二十运载火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程都增加3 km,在达到离地面222 km的高度时,火箭开始进入转弯程序.则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是 秒. A.10 B.11 C.12 D.13 √ 例3 (2)北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石), 环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石) 3 402块,则上层有扇形石板 块. 405 记从中间向外每环扇面形石板数为{an},则{an}是等差数列,且公差d=9,a1=9, 思维升华 等差数列前n项和的实际应用解题方法 (1)根据题设条 ... ...
