山东青岛市胶州市、黄岛区2025-2026学年第二学期期末学业水平检测高一数学试题(含详解)

山东青岛市胶州市、黄岛区2025 2026学年第二学期期末学业水平检测高一数学试题 一、单选题 1．样本数据的方差为（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点分别是，则向量对应的复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．向量共线，则（ ） A． B． C． D． 4．在中，，最长边与最短边之比为，则最小角为（ ） A． B． C． D． 5．棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为（ ） A． B． C． D． 6．已知为三个不同的平面，为两条不同的直线，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．从棱长为的正方体上底面的个顶点和下底面的个顶点中分别取一个点，则这个点之间的距离大于的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知是同一个球面上四点，过球心，，则三棱锥的体积是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在古典概型中，若随机事件满足：，则（ ） A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．为不可能事件 10．已知复数，则（ ） A． B． C．对应复平面上的点在直线上 D．若，则最大值为 11．已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（ ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 三、填空题 12．已知平行四边形中，，，为的中点，则_____． 13．斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，且．则二面角的余弦值为_____． 14．已知中，，，，则边上的高的最大值为_____． 四、解答题 15．某校从参加高三数学模拟考试成绩中随机抽取个数据，将其适当分组后，画出如下频率分布直方图． （1）请估计参加高三数学模拟考试成绩的分位数； （2）用按比例分配的分层随机抽样的方法将成绩落在内的数据中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个数据，求至少有个数据落在内的概率． 16．在中，角所对的边分别为，，． （1）求； （2）若，求的面积． 17．如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）求与平面所成角的最大值． 18．在中，，为边的中点，若在方向上的投影向量的模为． （1）求； （2）若点在所在平面内，，． （ⅰ）证明：点为的重心； （ⅱ）记中的最小值为，求的取值范围． 19．盒中有个标号为的小球，小球除标号外均相同，每次不放回地随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得的奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”． （1）当时，求取球两次就出现“巧遇”的概率； （2）记“取出个球后，第一次出现“巧遇”，，“第一次取到的是奇数号球”． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求取球过程中至少出现一次 “巧遇”的概率． 参考答案 1．【答案】C 【详解】给定数据，样本容量， 平均数：， 根据方差公式可得： . 2．【答案】B 【详解】复数对应点，复数对应点， ，向量对应的复数为， 复数的虚部是虚数单位的系数（不含），因此虚部为. 3．【答案】A 【详解】因为向量共线， 所以，即， 所以，则 4．【答案】C 【详解】在中，，因此， 由此可知既不是最大角也不是最小角，最大角大于，最小角小于， 最长边对应最大角，最短边对应最小角，设最小角为，则最大角为， 由正弦定理得： ，利用两角差的正弦公式可得： ，所以原式化简得： ，得，因为是三角形内角且， 故，因此最小角为. 5．【答案】D 【详解】上底面面积为，下底面面积为， 由， 得到，即，则 6．【答案】B 【详解】若，则或异面，选项错误； 若，则,又，则，选项正确； 若，则或或与斜交，选项错误； 若，则或相交，选项错误. 7．【答案】D 【详解】上底面 4 个顶点，下底面 4 个顶点，各取 1 个点，总取法：种， 这个点之间的距离大于，则这两个点只能是 ... ...