贵州遵义市南白中学2026-2027学年高三上学期第一次测试 数学试题 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则等于（ ） A．32 B． C．64 D． 5．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A． B． C． D． 6．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知圆台的上 下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、多选题 9．已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A． B．为等比数列 C． D． 10．已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 三、填空题 12．已知，则_____． 13．双曲线的一条渐近线为，则其焦距为_____． 14．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为_____. 四、解答题 15．某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 16．已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 17．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18．已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性： (3)若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 19．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 《贵州遵义市南白中学2026-2027学年高三上学期第一次测试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D C C B A ABD BD 题号 11 答案 BCD 12．/ 因为，所以； 故答案为： 13． 因为双曲线方程为，所以. 所以渐近线方程为，由题意知，渐近线方程为，所以. 又因为，所以，故焦距是. 14． 作出图形如图所示， 在中，由余弦定理，， 解得，或（，舍）， 又由，，则，故为直角三角形， 设的中点为，因为为等边三角形，故，又平面平面， 故平面， 又为直角三角形，点为斜边的中点， 则球心必在直线上，易知， 故在之间，设，则， 即，解得，故所求球半径，球的体积为. 故答案为： . 15．(1)，中位数为75 (2)的分布列为 0 1 2 期望为 （1）∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴ 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， ∴中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， 且, 所以的分布列为 0 1 2 故． 16．（1）由题意，得且， ... ...
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