湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高三上学期入学考试数学试题(含答案)

湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高三上学期入学考试数学试题 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A． B． C． D．2 5．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（ ） A． B． C．7 D．9 6．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ） A． B． C． D． 8．设随机变量的分布列为，且，则（ ） A．数列是等比数列 B． C．数列前7项之和为 D． 二、多选题 9．设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（ ） A． B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 10．某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有（ ） A．多面体的体积为 B．经过三个顶点的球的截面圆的面积为 C．异面直线与所成的角的余弦值为 D．球离球托底面的最小距离为 11．已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 三、填空题 12．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为_____. 13．已知是实数，若，则的值为_____ 14．定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则_____. 四、解答题 15．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 16．已知椭圆的中心在原点，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 17．已知数列中，，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数，设函数，求. 18．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上中线的长度为，求面积的最大值； (3)若点O为所在平面内一点，且满足，求的取值范围. 19．设集合，，．从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，．定义随机变量： (1)若，求的分布列； (2)求； (3)若随机变量，证明：． 《湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高三上学期入学考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A B C B D AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．B 8．D 9．AD 10．ACD 11．ACD 12． 13． 14．215 15．(1) 设的中点为，连接，， 因为，是，的中点，所以在中，，， 因为为正方形，为中点，所以，， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． (2) 16．(1) (2) 由（1）知椭圆方程为． 联立，解得或， 因为点在第一象限内，所以， 设直线的方程为． 由， 得， 设直线，的斜率分别为， 设，则，． 由， 得，， ． 即． 故直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 17．(1) 由已知可得：即 所以是以为首项，1为公差的等差数列； (2) 18．(1) (2) (3) 19．(1) 的分布列为： (2) ... ...