北京市第八十中学 2024-2025 学年第二学期 4 月阶段测评 高二数学学科-参考答案 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 答案 D C C D A 题号 6 7 8 9 10 答案 B C D C B 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 题号 11 12 13 14 15 16 （-1, ln 2）； 答案 1 -3 37 108 （e, 2e2 ） （e, +∞） 三、解答题（共 3 题，共 36 分） 17. 1 1 （1）单调递增区间为（-∞，- ）和（1，+∞），单调递减区间为（- ， 1） （2）-8 3 3 18. （1）切线方程为 y=2 （2）a∈（0，e-2） 19. （1）单调递减区间为（-∞，a-1），单调递增区间为（a-1，+∞） （2）a 的取值集合为｛1｝ （3）要证明 f (x)+ ex x + lnx + 2， 即证明 xe x + ex x lnx 2 a (ex 1)， x x 因为 a 1，且 x 0 ，所以a (e 1) e 1， 故只需证明 xex + ex x lnx 2 ex 1，即 xex x lnx 1 0． 1 1 设 g (x) = xex x lnx 1，则 g (x) = (x +1)ex 1 = (x +1) ex ． x x 1 3 易知 g ( x)在 (0,+ )上单调递增，且 g = ( e 2) 0， g (1) = 2(e 1) 0， 2 2 1 x 10 所以存在唯一的 x ,1 ，使得 g (x ) = 0，即 e = ， x0 = lnx0 0 x 0 ． 2 0 当0 x x0 时， g (x) 0，当 x x0时， g (x) 0， 1 / 2 所以 g (x)在 (0, x0 )上单调递减，在 ( x0 ,+ )上单调递增． x 1 所以 g (x) g (x 00 ) = x0e x0 lnx0 1= x0 x0 + x0 1= 0， x0 故原命题成立． 2 / 2
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