5.2.2 等差数列的前n项和 第五章 数列 5.2.2 课时1 等差数列的前n项和 第五章 数列 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题. 3.理解Sn与an的关系，并能运用这个关系解决相关问题. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？ 高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 101×50=5050. 高斯算法用到了等差数列的什么性质？ ? 高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，????，…???前100项的和问题. ? 对首项为????1，公差为????，的等差数列????????，设????????是等差数列的前????项和，则 ????????= ????1+????2+????3?+…+?????????2+?????????1+????????， ????????=????????+?????????2+?????????1+…+????3+????2+????1， 2????????=( ????1+????????)+????2+?????????1+…+(????????+????1). 因为????1+????????=????2+?????????1=…=????????+????1， 所以2???????? =( ????1+????????)+ ( ????1+????????)+…+(????1+????????)=????( ????1+????????)， 即????????=????(????1+????????)2. ? 将an=a1+(n-1)d代入上式，得????????=????[????1+????1+(?????1)????]2=????????1+????(?????1)2????. ? 等差数列的前n项和公式 归纳总结 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 特别地，当a1=1，d=1时，n个连续正整数的和 例1 在等差数列{an}中: (1)已知a5+a10=58，a4+a9=50，求S10; (2)已知S7=42，Sn=510，an-3=45，求n. (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体代换思想的运用. (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二. 归纳总结 问题：(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ (2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？ (3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？ 不是. an＝Sn－Sn－1(n≥2). 能. 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ S1 Sn－Sn－1 ，n＝1， ，n≥2. 归纳总结 注意： (1)这一关系对任何数列都适用. (2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示. 若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式. 例2 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4， 所以数列{an}是等差数列. 变式：若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 解：∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2； 当n≥2时，Sn-1=2?????12-3?????1-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2?????12-3?????1-1]=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-2不符合上式， 故an=?2,????=1,?????????4?????5,????≥2. ∵a2-a1=5≠a3-a2=4， 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. ? 由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列； 否则an=????1,????=1,??????????????????????????????????1,????≥2,数列{an} ... ...
~~ 已预览到文档结尾了 ~~
