双曲线及其标准方程 【教材内容分析】 本节课是高中数学选择性必修2第三章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握. 【学情分析】 知识结构分析： 学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系. 能力体系分析： 本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与化归能力的同时需着重关注学生的运算能力. 【教学目标】 通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义； 2. 通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程； 3. 通过对双曲线定义和标准方程的探索，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提高观察能力和探究分析能力. 【教学重点】 双曲线的定义； 双曲线标准方程的两种形式. 【教学难点】 双曲线标准方程的推导方法及化简过程. 【教具准备】 拉链，三角板，几何画板动画 【教学方法】 采用启发、探究式教学. 【教学过程与设计】 教学 环节 教学过程 师生活动 设计意图 教学策略 温故 知新 1.复习椭圆概念 2.复习椭圆的标准方程 学生回答 教师展示课件， 提出问题：与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 复习巩固旧知识，为引入双曲线定义作铺垫.让学生带着问题学习 问答 实验 操作 形成 概念 实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分； 2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； 3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线. 点M在运动过程中满足什么几何条件？如图（A），把拉链固定的两个点位置互换，此时点M满足什么几何条件？如图（B）， 归纳双曲线定义 动点M满足什么几何条件？ 类比椭圆定义，大家能否归纳一下双曲线的定义？ 常数有没有要求？为什么？ 类比椭圆的定义，让学生能从图中分析得到双曲线的定义，而且强调椭圆与双曲线定义的区别与联系. 互助合作，讨论分析. 教师课件展示，问题引导，学生回答. 三、 推导 标准 方程 回忆椭圆标准方程，类比椭圆标准方程的建立过程，推导双曲线的标准方程. 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系 2. 设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |M F1| - |M F2|=±2a 4.化简 令 则有 5.曲线上点的坐标都满足上述方程，以方程的解为坐标的点都在曲线上. 1.类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢 2.如何建系 化简？ 3.为何可令？ 4.和有没有大小关系？ 5.椭圆中和谁大？ 6.椭圆分焦点在x轴上，和y轴上两种？双曲线是否也有类似情况？ 7.焦点在y轴上的双曲线的标准方程如何求？ 学生说明自己的思路，具体推导由学生课后完成。 本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤。体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤. 师生问答 积极评价 四、课堂 练习 课堂练习：判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出的值 ①；②； ③；④ 请 类比归纳椭圆的标准方程和双曲线标准方程的区别和联系.学生独立完成，快速口答，相互纠正，教师指导。 学生独立完成,并展示 方程推导结束后，此时由于椭圆方程，双曲线方程的相似性，不少同学会将二者混淆，且判断焦点位置的方法也需要根据实例加以落实，因此故意安排椭圆方程，双曲线方程及变式要学生加以区分巩固. 检验学生对标准方程基本形式 ... ...
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