(
课件网) 5.2.1 等差数列 第五章 数列 5.2.1 课时1 等差数列的定义 第五章 数列 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式及运用. 3.会判断一个数列是否为等差数列. 观察下图，从第一排算起，依次有什么规律呢？你能发现什么？ 4 5 6 7 8 9 10 每层依次增加一个 观察上述几组数列，你能发现什么共同特点: （1）1，2，3，4，5... （2）3000，3500，4000，4500... （3）250，245，240，235，230... d=1 d=500 d=-5 共同特点:从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数. 对于一个数列，如果从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数 ，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. 等差数列{an}中，a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…= d ，d∈R. 概念讲解 练习：判断下列数列是否是等差数列，如果是，写出它的公差. （1）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111； （2）-1，-3，-5，-7； （3）1，2，4，6，8，10； （4）7，7，7，7，7； （5） 不是，公差不是同一个常数 不是，数列从第2项起差不是同一常数 是，公差 是，公差 分析：要确定一个数列是不是等差数列，可根据定义 进行判断，或其变形式，进行判断. 是，公差 归纳总结 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关． 数列｛an｝是等差数列 an - an -1= d (n≥2，且n ∈ N*) 讨论：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求得它的通项公式 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d， 故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 若一个等差数列{an}，首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 概念讲解 可以看成是an关于n的一次函数 等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d和n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. 注意： (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d= ，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 例1 若数列{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求an. 解:设等差数列{an}的公差为d， 例2 在等差数列{an}中， (1)若a5=15，a17=39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2=11，a8=5，求a10. ∴an=7+2(n-1)=2n+5. 令2n+5=91，得n=43. ∵43为正整数，∴91是此数列中的项. (2)若a2=11，a8=5，求a10. ∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n， ∴a10=13-10=3. 方法总结 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差. 2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，可把an看作自变量为n的一次函数. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 从函数角度研究等差数列{an} 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.就通项公式而言，确定一个数列的每一项的要素是首项a1和公差d，因此，二者可以视为常数，项数n是自变量，项an是函数值. 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可将an记作f(n)，它是定义 ... ...
