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课件网) 4．2 幂 函 数第页，共43页第4章 指数函数与对数函数1．幂函数的定义 一般地，形如_____的函数叫作幂函数．其中指数α为_____，底数x为_____. y＝xα(α∈R) 常数 自变量 2．五种常见的幂函数(如图4－1所示) 图4－1 3．幂函数的性质 当α>0时，函数图像经过点_____与_____，函数在(0，＋∞)上为_____；当α<0时，函数图像不经过点_____，只经过点_____，函数在(0，＋∞)上为_____. (0，0) (1，1) 增函数 (0，0) (1，1) 减函数 【例1】 下列函数中，是幂函数的是( ) A．y＝x－1 B．y＝ C．y＝2 D．y＝ 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 D 【点拨】 A是一次函数，不是幂函数；B可以化为y＝ 是指数函数，故不是幂函数；C不是幂函数． 【变式训练1】 下列函数中不是幂函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝3x D．y＝ 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 C 【例2】 求下列函数的定义域： (1)y＝ ； (2)y＝ ； (3)y＝ ； (4)y＝x－2. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】 求含有分数指数幂形式的函数的定义域，要将分数指数幂化成根式的形式．偶次根式要满足被开方数大于或等于零，奇次根式的被开方数为任意实数，分式还要注意分母不能等于零． 【解】 (1)函数y＝ 可化成y＝ . 要使函数有意义，则须满足x3≥0，解得x≥0. 故函数的定义域为[0，＋∞). (2)函数y＝ 可化成y＝ . 要使函数有意义，则须满足x3>0，即x>0. 故函数的定义域为(0，＋∞). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 (3)函数y＝ 可化成y＝ ，则x∈R. 故函数的定义域为(－∞，＋∞). (4)函数y＝x－2可化成y＝ . 要使函数有意义，则须满足x2≠0，即x≠0. 故函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【变式训练2】 求下列函数的定义域： (1)y＝ ； (2)y＝x－3; 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：(1)y＝ ，则x∈R. 故函数的定义域为(－∞，＋∞). (2)y＝x－3＝ ， 要使函数有意义，则须满足x3≠0，即x≠0. 故函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). (3)y＝ ， 要使函数有意义，则须满足x>0， 故函数的定义域为(0，＋∞). (3)y＝ . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【例3】 讨论下列函数的奇偶性和单调性． (1)y＝ ； (2)y＝x－2; (3)y＝x－3. 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【点拨】 幂函数的单调性与幂指数有关，奇偶性要根据解析式来判定． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【解】 (1)函数y＝ 可化成y＝ ， 所以函数的定义域为[0，＋∞)，函数为非奇非偶函数． 又∵幂指数α＝ >0， ∴函数y＝ 在定义域上为增函数． (2)函数y＝x－2可化成y＝ ， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 记y＝f(x)，满足f(－x)＝ ＝f(x)， 故函数y＝x－2为偶函数． 又∵幂指数α＝－2<0， ∴函数y＝x－2在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 (3)函数y＝x－3可化成y＝ ， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 记y＝f(x)，满足f(－x)＝ ＝－f(x)， 故函数y＝x－3为奇函数． 又∵幂指数α＝－3<0， ∴函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都为减函数． 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 【变式训练3】 求下列函数的定义域并判断其奇偶性和单调性： (1)y＝ ； 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变3 变4 变5 解：(1)∵y＝ ，∴函数的定义域是R， 记y＝f(x)，满足f(－x)＝ ＝－f(x)， ∴该函数是奇函数． ∵α＝ >0，∴函数y＝ 在(0，＋∞)上是增函数， 又∵该函数是奇函数，其图像关于原点对称， ∴函数y＝ 在(－∞，0] ... ...
