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课件网) 7．1 平面向量的概念及线性运算第7章 平 面 向 量第页，共69页1．平面向量、有向线段的概念 既有 又有 的量叫作向量． 带有 的线段叫作有向线段．通常用 线段表示向量，其箭头指向就是向量的 ，长度表示向量的 .向量的 叫作向量的模， 的模记作 _____. 大小 方向 方向 有向 方向 大小 大小 2．常见向量 (1)零向量：模为 的向量叫作零向量，记作0.零向量的方向 . (2)单位向量：模为 的向量叫作单位向量． (3)平行向量：方向 或 的两个非零向量，称为平行向量或 向量．任意一组 向量都可以平移到同一条直线上． 零 不确定 1 相同 相反 共线 平行 规定： 与任何一个向量平行． (4)相等向量：向量a与b的模 并且方向 时，称向量a与向量b相等，记作 . (5)负向量：与非零向量a的模 并且方向 的向量叫作向量a的负向量，记作－a.规定：零向量的负向量仍为 . 零向量 相等 相同 a=b 相等 相反 零向量 3．平面向量的线性运算 (1)向量的加法：求向量的 的运算叫作向量的加法，其结果仍然是向量． 和 ①向量加法的三角形法则：一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A，依次作 ＝a， ＝b(如图7－1所示)，则向量____叫作向量a与向量b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝_____. 图7－1 其特点是：两个加向量的“首尾相接”，和向量是“首”指向“尾”． ②向量加法的平行四边形法则：以起点为A的两个向量a，b为邻边作平行四边形ABCD(如图7－2所示)，向量_____就是向量a与向量b的和． 图7－2 即a＋b＝ ＋ ＝ ＋ ＝____. ③向量的加法具有的性质如下： a＋0＝0＋a＝ ；a＋(－a)＝ ； a＋b＝b＋a；a＋b＋c＝a＋( ＋c). 注：①向量加法的三角形法则对于共线的两个向量求和仍然适用． a 0 b ②可以推广到多个向量求和．如 ＋ ＋ ＋ ＝_____.特点是：几个加向量只要满足“ ”，和向量就是从第一个加向量的 指向最后一个加向量的 的向量． 首尾顺次相接 起点 终点 (2)向量的减法：将向量a与向量b的 的和定义为向量a与向量b的差． 向量减法的三角形法则：以平面上任一点O为起点， 作 ＝a， ＝b，连接AB(如图7－3所示)，则向量_____为所求的差向量，即a－b＝ － ＝_____． 图7－3 负向量 其特点是：被减向量和减向量的起点 ，差向量是从 的终点指向 的终点的向量． 注：向量减法的三角形法则对于共线的两个向量求差仍然适用． 相同 减向量 被减向量 (3)向量的数乘运算． ①一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.λa的模为|λa|＝ .λa的方向：当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0或 a＝0时，λa＝ . 数乘向量就是把向量a沿着a的方向(或反方向)放大(或缩小). |λ||a| 相同 相反 0 ②数乘向量的运算法则： 1a＝a；(－1)a＝－a； (λμ)a＝λ(μa)＝μ(λa)；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．向量平行的条件 对于非零向量a，b，a∥b 存在唯一非零实数λ， 使 . a＝λb 5．向量的线性组合 λa＋μb叫作向量a与向量b的一个线性组合(其中λ，μ均为系数).如果l＝λa＋μb，则称l可以用a，b . 线性表示 【例1】如图7－4所示，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点． (1)写出与 ， 相等的向量； (2)写出 的负向量； (3)写出与 平行的向量． 图7－4 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 【点拨】根据相等向量、负向量、平行向量的定义去判断，同时不要忽视同一直线上的两向量的关系． 【解】(1) ＝ ＝ ， ＝ ＝ . (2)－ ＝ ＝ ＝ . (3)与 平行的向量： ， ， ， ， ， ， . 例1 例2 例3 例4 例5 变1 变2 变4 变5 例6 变6 例7 变7 变3 【变式训练1】如图7－5所示，D，E，F分别是△ABC各边的中点 ... ...
