【练重点B本】人教版(2024)八下提分专题(一)二次根式的化简求值(PDF，含答案)

重点提分 B 本@第 19 章二次根式 提分专题（一）二次根式的化简求值 类型 1 整体代入法 1.请阅读下列材料： 已知 = 5 + 2，求代数式 2 4 7 的值. 小熙根据二次根式的性质：( )2 = ，联想到了如下解法： 由 = 5 + 2得 2 = 5，则( 2)2 = 5，即 2 4 + 4 = 5，∴ 2 4 = 1 . 把 2 4 看成整体，得 2 4 7 = 1 7 = 6 . 请仿照上述方法解决下列问题： （1）已知 = 3 3，求代数式 2 + 6 + 8 的值； 解：由 = 3 3可得 + 3 = 3，则( + 3)2 = 2 + 6 + 9 = 3 ， ∴ 2 + 6 = 6，∴ 2 + 6 + 8 = 6+ 8 = 2 . （2）已知 = 5 1，求代数式 3 2 + 3 + 2 025 的值. 2 解：由 = 5 1可得 2 + 1 = 5，则(2 + 1)2 = 4 2 + 4 + 1 = 5 ， 2 ∴ 2 + = 1，∴ 3 2 + 3 + 2 025 = 3( 2 + ) + 2 025 = 3 × 1 + 2 025 = 2 028 . 2. = +1+ 1 = +1 1设 ， ， 为正整数，且 3 2 + 34 + 3 2 = 1 000，求 的值. +1 1 +1+ 1 = +1+ 1 × +1 1解： = 1 ， +1 1 +1+ 1 + = +1+ 1+ +1 1 = ( +1+ 1) 2+( +1 1)2 4 2 2 +1 1 +1+ 1 ( +1)2 2 = = 2 . ∵ 3 + 34 + 3 = ( 1) 2 1 000，∴ 3( 2 + 2) = 1 000 34 = 966 ， ∴ ( + )2 2 = 322，∴ 4 2 2 = 322，∴ 2 = 81. ∵ 为正整数，∴ = 9 . 类型 2 因式分解法 3.已知 = 3 2， = 3 + 2 ，求下列各式的值. （1） 2 2 + 2 ； 解：原式= ( )2 = ( 4)2 = 16 . （2） 2 2 . 8/67 重点提分 B 本@第 19 章二次根式 解：原式= ( + )( ) = 2 3 × ( 4) = 8 3 . 解析：∵ = 3 2， = 3 + 2 ，∴ = ( 3 2) ( 3 + 2) = 3 2 3 2 = 4 ， + = ( 3 2) + ( 3 + 2) = 3 2 + 3 + 2 = 2 3 . 4.已知 1 = 2 024，求代数式( + 1)2 4( + 1) + 4 的值. 解：∵ 1 = 2 024，∴ 原式= [( + 1) 2]2 = ( 1)2 = ( 2 024)2 = 2 024 . 类型 3 配方法 母题学方法：当化简双重二次根式 + 时，可以先巧用配方法将被开方数配方成完全平 方的形式，再开方化简计算.可以找到两个数 和 ，使 + = 且 = ，使被开方 数变为 + + ，即变成( + ) ，从而使 + 得以化简. 5.阅读材料：康康学完二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：3 + 2 2 = (1 + 2)2 ，善于思考的康康进行了以下探索： 设 + 2 = ( + 2)2（其中 , , , 均为正整数），则有 + 2 = 2 + 2 2 + 2 2 （有理数和无理数分别对应相等）， ∴ = 2 + 2 2， = 2 . 这样康康就找到了一种把式子 + 2 化为平方式的方法. 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： （1）当 , , , 均为正整数时， + 3 = ( + 3)2，用含 , 的式子分别表示 , ，得 =__ _____， = _____； 答案： 2 + 3 2 2 解：∵ ( + 3)2 = 2 + 2 3 + 3 2 = 2 + 3 2 + 2 3 = + 3 ， ∴ = 2 + 3 2， = 2 .故答案为 2 + 3 2，2 . （2）若 7 4 3 = ( 3)2，且 , 均为正整数，试将 7 4 3 化为平方式； 解：∵ 7 4 3 = 4 2 × 2 × 3 + 3 = 22 2 × 2 × 3 + ( 3)2 = (2 3)2 ， ∴ 7 4 3 = (2 3)2 . 9/67 重点提分 B 本@第 19 章二次根式 （3）化简： 7 + 21 80 . 解： 7 + 21 80 = 7 + 1 4 5 + 20 = 7 + (1 2 5)2 = 7+ 2 5 1 = 6 + 2 5 = 1 + 2 5 + 5 = (1 + 5)2 = 1 + 5 . 类型 4 分母有理化 母题学方法 当二次根式出现在分母中时，可通过分母有理化的方法进行化简： （1）若分母是单项二次根式，可利用 = 来进行分母有理化； （2）若分母是非单项二次根式，则可以利用平方差公式来进行分母有理化. 6. 2 2分母有理化： = _____. 3 5 2 10 答案： 15 2 2 2 2× 5 2 10 2 10 解析： = = ，故答案为 . 3 5 3 5× 5 15 15 7.阅读下列内容： 1 = 1×( 2 1) = 2 1 ； 2+1 ( 2+1)( 2 1) 1 = 1×( 3 2) = 3 2 ; 3+ 2 ( 3+ 2)( 3 2) 1 = 1×( 5 2) = 5 2 . 5+2 ( 5+2)( 5 2) 计算： （1 1） ； 7+ 6 1 = 1×( 7 6)解： = 7 6 . 7+ 6 ( 7+ 6)( 7 6) 4 （2 ... ...